II.5. Преобразование объемного интеграла в поверхностный.

Предполагается известной формула Гаусса — Остроградского

В ней элемент объема элемент поверхности О, ограничивающей этот объем, проекции на ось единичного вектора нормали к этой поверхности, направленной вовне объема. Функция непрерывна вместе с ее частными производными первого порядка в замкнутом объеме Простейшим обобщением формулы (II. 5.1) служит соотношение

связывающее интеграл по замкнутому объему от дивергенции вектора с потоком вектора через ограничивающую этот объем поверхность.

Заключающееся в формуле (II. 5.2) правило замены набла-оператора в объемном интеграле вектором поверхностном можно распространить на более сложные соотношения, поскольку в конечном счете дело сводится к исходному преобразованию Гаусса — Остроградского (II. 5.1). Например,

так как

Другими столь же просто проверяемыми примерами служат

В применении к тензору второго ранга имеем формулы

Как пример приведем еще преобразование

Но

где — сопутствующий вектор. Итак,