3.6. Построение потенциала w.

Внутренность единичного круга регф конформно отображается на разрезанную по участку плоскость Это преобразование имеет вид

Круги плоскости преобразуются в эллипсы с полуосями — на плоскости 2 с фокусами в

точках для окружности эллипс вырождается в отрезок плоскости 2, причем нижней его стороне обходимой в направлении от до , соответствует верхняя полуокружность а верхней - нижняя полуокружность Бесконечно удаленная точка плоскости z переходит на плоскости в начало координат

Искомый потенциал со преобразуется в функцию также гармоническую, поскольку преобразование (3.6.1) конформно. На «эллипсе»

и краевое условие (3.5.7) для функции записывается в виде

Замечая, далее, что при

можно преобразовать условие на бесконечности (3.5.6) к виду

Поэтому, введя в рассмотрение вместо также гармоническую функцию

приходим к задаче о разыскании этой функции по условиям

Ее решение представляется известным интегралом Пуассона

причем следствием второго условия (3.6.5) являются требования

Вспоминая еще представление ядра Пуассона тригонометрическим рядом

и замечая, что четна по (одинакова на верхнем и нижнем берегах разреза), имеем

Здесь коэффициенты Фурье:

Остается составить выражение закона распределения поверхностных сил на поверхности контакта. Имеем

и, сославшись на (3.5.5), (3.6.8), найдем

откуда, вспомнив, что при придем к формальному представлению в виде

Ряд в правой части представляет предельное значение при вещественной части аналитической в круге функции

причем предельное значение ее мнимой части равно

что следует из определения (3.6.9) коэффициентов а. Из сказанного, сославшись на известные формулы обращения Гильберта, имеем

так что другим представлением может служить

Разбивая промежуток интегрирования на два: и и заменив во втором переменную интегрирования на преобразуем входящий в это выражение интеграл к виду

откуда, возвращаясь к переменным получим

Здесь интеграл в правой части понимается в смысле его главного значения

и достаточным условием его существования является выполнение условия Гельдера

В точках, где это условие не выполнено, не будет ограничено. Например, в угловой точке штампа, ограниченного кривой производная условие Гельдера не выполнено и давление будет бесконечным.