2.7. Вариационные принципы при учете температурных слагаемых.
Уравнение теплопроводности рассматривается в его классической форме Фурье (3.6.8) гл. III, а в задаче теории упругости сохраняется статическая постановка, то есть пренебрегают изменениями во времени напряженного состояния, вызываемыми неетацнонарностыо температурного поля. Это позволяет рассматривать температуру как неварьируемый при варьировании напряженного состояния внешний фактор и в соответствии со сказанным в п. 1.14 формально трактовать наличие температурного поля как поля объемных сил с потенциалом (1.14.5) и поверхностных сил (1.14.6). Учитывается действие этих «сил» и реактивных сил на 
создаваемых связями, обеспечивающими заданные перемещения на этой части поверхности тела.
Аналогом функционала 
в принципе минимума потенциальной энергии в соответствии с (2.1.3), (1.14.5) и (1.14.6) служит функционал
где 
квадратичная форма (3.2.3) гл. III компонент тензора деформации 
Применив легко проверяемое преобразование
приведем (2.7.1) к виду
причем по (3.4.6) гл. III (см. также таблицу п. 3.1 гл. III) величина
с точностью до не имеющего здесь значения слагаемого, зави сящего только от температуры, представляет свободную энергию системы.
Повторив над функционалом (2.7.3) вычисление, которое привело к формуле (2.2.8), придем к соотношению
Здесь 
— тензор, определяемый формулами (3.4.7), (3.4.8) гл. III:
так что
где введены обозначения (2.2.6), (2.2.7) дифференциальных операторов 
Щи).
После подстановок в (2.7.4) получаем
причем последнее слагаемое следует отбросить, поскольку 
на 
Приходим к дифференциальному уравнению равновесия в перемещениях (1.14.3) и к краевому условию (1.14.4), что и требовалось. Полностью повторив сказанное в п.2.2, убедимся, что функционал 
в положении равновесия имеет минимум.
Аналогом функционала 
в принципе минимума дополнительной работы служит функционал
где 
потенциал Гиббса (3.5.4) гл. III, a F - вектор поверхностных реактивных сил на 
Имеем
где 
тензор, компоненты которого, вычисляемые по (3.5.5) гл. III, представляют линейные формы компонент тензора напряжений и температуры; выражение тензора 
дается также формулой (3.4.10) гл. III.
Доказательство стационарности и минимальности функционала в положении равновесия, когда к сравнению допускаются статически возможные напряженные состояния, не отличается от приведенного в п. 2.5.
