5.7. Изгиб тяжелого стержня.

Рассматривается горизонтальный тяжелый стержень, торец которого свободен; ось х направлена по нисходящей вертикали, так что отлична от нуля только компонента объемной силы (у — вес единицы объема). Частное решение уравнений равновесия может быть взято в виде ему соответствует распределение поверхностных сил на боковой поверхности

Но эта поверхность не нагружена; поэтому на взятое частное решение следует наложить решение задачи Мичелла, в которой

так что из шести интегральных величин (5.1.3), (5.1.4) отлична от нуля только

Поэтому по (5.2.9)

и речь идет о задаче изгиба силой, решаемой формулами п. 5.4, и о плоской задаче, в которой находятся напряжения и статически эквивалентное нулю слагаемое напряжения а.

В частном случае стержня круглого сечения радиуса а по (4.2.5), (5.5.1), (4.2.6)

и, далее, по (5.5.2)

причем функция напряжений представляет решение бигармонической краевой задачи (5.5.6), в которой значения на контуре области задаются выражениями

Легко проверить, что произведение х, или у, или на гармоническую функцию удовлетворяет бигармоническому дифференциальному уравнению; имеет место и обратное утверждение: всякая бигармоническая функция представима в одном из трех видов:

где некоторые гармонические функции. Для круговой области косинусы угла нормали с координатными осями пропорциональны х, у; поэтому, записав теперь краевые условия в виде

нетрудно сообразить, что функцию следует разыскивать в форме бигармонического полинома не выше пятой степени. По сказанному он представляется суммой гармонического полинома пятой степени и произведения на гармонический полином четвертой степени; к этой сумме можно добавить любой полином третьей степени (всегда, очевидно, бигармонический). Оказывается достаточным принять

причем входящие в это выражение гармонические полиномы равны вещественным частям Подстановка в краевые условия (5.7.8) приводит к системе пяти уравнений, из которых одно является следствием прочих, так что оказывается достаточным введения четырех постоянных. Получаем

и по (5.7.6) выражения искомых напряжений (при учете также напряжения будут

Распределение напряжений поперечному сечению по (5.6.1) представляется в виде

причем постоянная определена по условию (5.1.10).

В точках поперечного сечения напряжение по (5.7.3) оказывается равным

Второе слагаемое дает поправку, не учитываемую элементарной теорией.

Такими же элементарными средствами может быть рассмотрена задача об изгибе тяжелого стержня эллиптического поперечного сечения; задача изгиба для него рассмотрена в п. 4.2, функцию напряжений следует задать в форме (5.7.9), а в записи краевого условия вида (5.7.8) учесть, что пропорциональны