§ 4. Малая деформация при наличии начального нагружения

4.1. Малая деформация деформированного объема.

Далее рассматриваются три состояния упругого тела: начальное состояние в -объеме, ограниченном поверхностью о, первое состояние деформации -объем, поверхность О) и второе состояние, получаемое из первого сообщением его точкам малого перемещения, задаваемого вектором Объем тела и его поверхность в этом состоянии обозначаются малый параметр, во всем последующем сохраняются слагаемые только червой степени относительно этого параметра.

Вводится декартова система осей неизменные направления которых задаются единичными векторами Координаты точки среды в этой системе в и -объемах обозначаются соответственно а ее вектор-радиусы

Для материальных координат точек среды сохраняются обозначения векторные базисы в -объемах образуются тройками векторов взаимные базисы — векторами метрические тензоры обозначаются, как выше,

Координатный базис в -объеме определен тройкой векторов

Ранее операции в -объеме отмечались (в отличие от операций в -объеме) знаком тильды теперь нет нужды в таком усложнении записей, так как все действия будут проводиться в V- и в -объемах; операции с величиной в метрике -объема отмечаются звездочкой.

По определению набла-оператора V и градиента вектора [см.

Поэтому, введя в рассмотрение единичный (метрический) тензор имеем

причем индексом обозначается транспонирование тензора:

Ковариантные компоненты метрического тензора -объеме определяются формулами

Вспомнив определение линейного тензора деформации вектора

получаем

Определение взаимного базиса основыаается на равенстве метрических тензоров (тот и другой — единичные тензоры, каждый в своей метрике):

Представив их в форме сумм диадных произведений

заменив значением (4.1.3), на имеем

или

Выражения контравариантных компонент метрического тензора теперь представляются в виде

Для вычисления определителя проще всего исходить из равенства

Введя в рассмотрение первый инвариант тензора (в -метрике)

получим

Мера деформации -объема определяется тензором с ковариантными компонентами в метрике начального -объема, равными ковариантным компонентом метрического тензора -объема:

Главные инварианты этого тензора, определяемые формулами (5.2.6) — (5.2.8) гл. II, равны

Ниже обозначают разности главных инвариантов:

так что

Вектор ориентированной площадки определяется по (3.5.3) гл. II:

Поэтому

и, далее,

Вектор отличается от как следовало ожидать, вектором, перпендикулярным

Заменив тензоры их разложениями (1.2.13) гл. II на симметричную и кососимметричную части

и сославшись также на формулы (1.5.8), (1.5.11), можно представить базисные векторы и вектор нормали в виде