4.4. Сопоставление интегральных уравнений первой и второй краевых задач.
Полученные в пп. 4.2 и 4.3 интегральные уравнения перепишем в такой последовательности:
Выше указывалось, что поверхностные интегралы понимаются в смысле их главных значений, поэтому уравнения сингулярны. Применимость к ним основных теорем и альтернатив Фредгольма может быть доказана при значениях постоянных 
для которых удельная потенциальная энергия деформации положительна [см. (3.3.5), (3.3.6) гл. III].
Интегральные уравнения, составляющие систему (4.4.1), - союзные уравнения; то же относится к паре уравнении (4.4.2). Соответствующие им системы однородных уравнений можно записать в виде
причем 
для задач 
для 
Известно, что собственные числа союзных однородных интегральных уравнений одинаковы, так что эти уравнения или одновременно (при одном и том же 
имеют только тривиальное (нулевое) решение, или одновременно обладают собственными решениями, отличными от тривиальных. Согласно альтернативе Фредгольма известно, что в первом случае соответствующее неоднородное уравнение имеет единственное решение, тогда как во втором оно
не имеет решения при произвольной правой части, а при наложении на последнюю некоторых условий — решение не единственное.
Ниже доказывается, что 
не является собственным числом системы союзных уравнений (4.4.3). Поэтому первая внутренняя 
и вторая внешняя 
задачи имеют единственное решение при произвольных заданиях их правых частей.
Наоборот, при 
однородное уравнение 
имеет отличное от нуля семейство решений (4.2.10), зависящее от двух произвольных постоянных векторов (от шести постоянных). Значит, и однородное уравнение 
имеет также зависящее от шести постоянных семейство нетривиальных решений; поэтому задачи 
вообще говоря, решений не имеют. Это легко понять, поскольку в задаче 
свободный член 
определяющий распределение поверхностных сил, должен удовлетворять уравнениям статики и при этом вектор перемещения определен с точностью до перемещения твердого тела. В задаче же 
в самой, ее постановке — накладывалось существенное ограничение на задание вектора 
на что обращалось внимание в замечании 3 п. 4.2.
Ниже группы задач (4.4.1), (4.4.2) более подробно рассматриваются по отдельности.
