7.3. Примеры (цилиндр и сфера).

Случаи сохранения главных направлений имеют место при осесимметричной деформации круглого цилиндра и радиально-симметричной деформации сферы.

1°. Цилиндр. Введя цилиндрические координаты и предполагая, что осевое перемещение не зависит от имеем

Поэтому

так что главные оси тензоров совпадают с координатными направлениями векторов При этом

и уравнение равновесия (7.2.2) при отсутствии массовых сил приводится к соотношению

Постоянные а определяются по заданию давлений на наружной и внутренней поверхностях полого цилиндра и осевой силы на торце Приходим к трем уравнениям, которые можно записать в виде

Например, в случае цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами и нагруженного равномерно распределенным давлением по наружной поверхности имеем

и внутренний радиус деформированного цилиндра при

2° Сфера. При центрально-симметричной деформации сферы, введя сферические координаты имеем

так что

причем -единичный тензор. В этом случае главные оси тензора

также имеют направления сохраняющиеся при деформации. Получаем

и по

Далее по (7.2.3) имеем

и постоянные находятся по заданию давлений на наружной и внутренней поверхностях полой сферы. Например, в случае только наружного давления приходим к уравнению

Внутренний радиус деформированной сферы дается равенством

и, поскольку имеем

Рассматриваемое решение осуществляется для значений наружного давления