7.3. Примеры (цилиндр и сфера).
Случаи сохранения главных направлений имеют место при осесимметричной деформации круглого цилиндра и радиально-симметричной деформации сферы.
1°. Цилиндр. Введя цилиндрические координаты
и предполагая, что осевое перемещение не зависит от
имеем
Поэтому
так что главные оси тензоров
совпадают с координатными направлениями векторов
При этом
и уравнение равновесия (7.2.2) при отсутствии массовых сил приводится к соотношению
Постоянные
а определяются по заданию давлений на наружной и внутренней поверхностях полого цилиндра
и осевой силы
на торце
Приходим к трем уравнениям, которые можно записать в виде
Например, в случае цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами
и нагруженного равномерно распределенным давлением по наружной поверхности
имеем
и внутренний радиус деформированного цилиндра
при
2° Сфера. При центрально-симметричной деформации сферы, введя сферические координаты
имеем
так что
причем
-единичный тензор. В этом случае главные оси тензора
также имеют направления
сохраняющиеся при деформации. Получаем
и по
Далее по (7.2.3) имеем
и постоянные
находятся по заданию давлений на наружной
и внутренней
поверхностях полой сферы. Например, в случае только наружного давления
приходим к уравнению
Внутренний радиус деформированной сферы дается равенством
и, поскольку
имеем
Рассматриваемое решение осуществляется для значений наружного давления