III.5. Дифференциальные операции в ортогональных криволинейных координатах.

Вычисления основываются на определении набла-оператора (III. 3.9) и на деривационных формулач (III.4.8).

1°. Градиент вектора. Имеем

Но по

и выражение приводится к виду

2°. Дивергенция вектора. Основываясь на (III.3.10), запишем соотношение

так что, образуя след тензора найдем 4

и окончательно

3°. Лапласиан скаляра. Если, в частности,

то

4°. Ротор вектора. Следует заменить в (III.5.1) диады векторными произведениями

Придем к выражению

или

Проекции этого вектора равны

5°. Тензор Он был определен формулой (11.2.7). Сославшись на (III. 5.1), получим

Выражения компонент этого тензора записываются в виде

6°. Дивергенция тензора второго ранга

так что

и в окончательном виде

7°. Тензор Вычисление дает

Отсюда следует запись выражения лапласиана

легко преобразуемая в (III. 5.5).