5.5. Удельная дополнительная работа деформации для полулинейного материала.
Удельная потенциальная энергия деформации задается равенством (2.8.7)
в котором 
по (2.7.3), (2.6.4) представляются через инварианты тензора 
Закон состояния задается формулой (2.8.8)
Из нее получаем представления симметричных тензоров
Их первые инварианты, обозначаемые 
если учесть (5.5.2),
оказываются равными
так что выражения 
через инварианты 
можно записать в виде
Подстановка в (5.5.1) позволяет выразить удельную потенциальную энергию деформации через инварианты тензоров
Имеем также, снова обратившись к (5.5.2), (5.5.6),
и удельная дополнительная работа деформации в соответствии с определением (5.3.6), выраженная через тензор 
оказывается равной
Для определения тензора 
по (5.3.4) следует вычислить производные по 
инвариантов 
Имеем
и в соответствии с определением (1.12.7)
Для вычисления 
предварительно отметим, что производная первого инварианта любого симметричного тензора 
по 
равна
так как 
поскольку 
симметричный тензор.
В приложении к симметричному тензору 
получаем
и во втором слагаемом в скобках можно тензор 
заменить на 
поскольку тензор 
симметричен. Получаем
Теперь, обратившись к (5.5.8), получим
и по 
Вектор 
в соответствии с (5.4.6) определяется интегралом 
по любой кривой, соединяющей точки 
Базисные векторы в деформированном объеме представляются теперь выражениями
Замечания 1. Напряженное состояние, удовлетворяющее уравнению статики (5.3.1) в 
-объеме (при отсутствии массовых сил) можно задать, полагая
где 
любой, дважды дифференцируемый тензор. Он должен быть выбран так, чтобы выполнялось краевое условие на 
Принцип дополнительной работы не может быть обобщен на случай произвольного (не «мертвого») нагружения, так как задание 
требует знания геометрии деформированного тела.
2. Применение тензора Пиола, задаваемого в векторном базисе начального состояния среды, позволило в случае «мертвого» нагружения выразить принцип стационарности дополнительной работы только через статические величины; здесь преодолена трудность исключения из формулировки принципа градиентов вектора перемещения. Изложение в пп. 5.3-5.5 основано на работе Л. М. Зубова.
