4.9. Несжимаемый материал.

Для несжимаемых материалов

где главные значения меры деформации Коши выражение удельной потенциальной энергии, предложенное Муни (1940), представляется в виде

причем неотрицательные постоянные:

Нетрудно убедиться, что неравенства (4.9.3) являются необходимыми и достаточными условиями положительности А во всех состояниях, отличных от начального (когда Действительно, вспоминая, что

можно представить (4.9.2) в виде

Но сумма трех положительных чисел, произведение которых равно единице, имеет минимум, когда эти числа равны и, значит, каждое из них равно 1. Итак, при условии (4.9.1)

и неравенства (4.9.3) — достаточные условия положительности А. Они также необходимы; действительно, по крайней мере одна из постоянных (пусть должна быть положительна, а приняв всегда можно подобрать положительные числа произведение которых равно единице, чтобы выполнялось неравенство

Тензор напряжений для материала Муни представляется, например, формулой Фингера (2.4.6), принимающей здесь вид

Другим представлением удельной потенциальной энергии деформации в форме Муни через меру деформации Альманзи служит

[см. (5.2.4) гл. II] При этом тензор напряжения согласно представляется равенством

Конечно, уравнения состояния (4.9.7), (4.9.9) — формы записи одного и того же соотношения; в этом можно убедиться, заменив тензором

Энергетический тензор напряжений по (2.4.6) дается выражением

Было бы ошибкой, основываясь на записи (4.9.2), считать производную равной нулю; она является неизвестной наперед функцией инвариантов определяемой по уравнениям статики и условию Формула (4.9.2) дает значение А на плоскости пространства параметров производная по нормали от на этой плоскости. Возвращаясь к определениям (2.1.7), (2.4.3), имеем

Представлению удельной потенциальной энергии деформации в форме Муни (4.9.2) предшествовала упрощенная его форма

Она была предложена (Треолар) на основании рассмотрения конструктивной модели резины как системы связанных друг с другом длинных молекулярных цепочек. Эта же форма зависимости («неогуково тело») была использована в первых работах Ривлина (1948).

Формула Муни в известной мере сокращает разрыв теории с экспериментом; однако при измерениях в большом диапазоне деформаций была обнаружена зависимость отношения от (Ривлин и Сондерс, 1951). Это дало основание корректировать формулу Муни соотношением более общего вида: