6.13. Продолжение Ф(z)
При преобразовании обратными радиусами относительно окружности
точке
сопоставляется точка
, иначе говоря, точка
переходит в точку
на том же луче, исходящем из центра
Рассматривается упругое тело
-область), ограниченное окружностью
это — круглый диск при
и плоскость с круговым отверстием при
При
в положительном направлении (против часовой стрелки при
по часовой стрелке при
область
остается слева,
справа. Пусть
точка области
-области
По (1.14.9)
В
-области функции
не определены, в ней
преобразуется в
Это позволяет определить
в
-области, приняв левую часть равенства (6.13.1) нулем, заменив z на
сохранив при этом неизменным I, получаем соотношение, связывающее функции только от I:
Заменив здесь
на
приходим к эквивалентному соотношению между функциями от
Этим равенством определяется продолжение
в
-область.
Пусть
-областыо является плоскость с круговым отверстием, тогда
-областью служит диск
Функция
голоморфные в
разлагаются в ряды по отрицательным степеням
содержащие также постоянные слагаемые; поэтому
-ряды по положительным степеням
и из структуры формулы (6.13.3) легко заключить, что
голоморфна в
всюду, кроме начала координат, являющегося полюсом с разложением в его окрестности вида
Если же
-область представляет диск, то бесконечно удаленная точка
заключена в
-области;
— ряды по положительным, а
-отрицательным степеням
содержащие также постоянные слагаемые. Постоянное слагаемое согласно (6.13.3) войдет также в определяемое этой формулой аналитическое продолжение
в
-область; в этой области
является поэтому голоморфной всюду функцией, влючая бесконечно удаленную точку
в которой ее главная часть постоянна.
Формулы (6.13.1), (6.13.2) позволяют составить равенство
При предельном переходе
обе точки
приходят в одну и ту же точку
на
первая
вторая из
-области; вместе с тем
получаем соотношение
Сославшись теперь на (5.11.9), определим
с помощью интеграла типа Коши
Интеграл в этой формуле представляет голоморфную в плоскости, исключая
функцию 2. Интегрирование ведется в направлении, оставляющем
-область слева. Функция
введенная для учета возможных особенностей
при
и