6.13. Продолжение Ф(z)

При преобразовании обратными радиусами относительно окружности точке сопоставляется точка , иначе говоря, точка переходит в точку на том же луче, исходящем из центра Рассматривается упругое тело -область), ограниченное окружностью это — круглый диск при и плоскость с круговым отверстием при При в положительном направлении (против часовой стрелки при по часовой стрелке при область остается слева, справа. Пусть точка области -области По (1.14.9)

В -области функции не определены, в ней преобразуется в Это позволяет определить в -области, приняв левую часть равенства (6.13.1) нулем, заменив z на сохранив при этом неизменным I, получаем соотношение, связывающее функции только от I:

Заменив здесь на приходим к эквивалентному соотношению между функциями от

Этим равенством определяется продолжение в -область.

Пусть -областыо является плоскость с круговым отверстием, тогда -областью служит диск Функция голоморфные в разлагаются в ряды по отрицательным степеням содержащие также постоянные слагаемые; поэтому -ряды по положительным степеням и из структуры формулы (6.13.3) легко заключить, что голоморфна в всюду, кроме начала координат, являющегося полюсом с разложением в его окрестности вида

Если же -область представляет диск, то бесконечно удаленная точка заключена в -области; — ряды по положительным, а -отрицательным степеням содержащие также постоянные слагаемые. Постоянное слагаемое согласно (6.13.3) войдет также в определяемое этой формулой аналитическое продолжение в -область; в этой области является поэтому голоморфной всюду функцией, влючая бесконечно удаленную точку в которой ее главная часть постоянна.

Формулы (6.13.1), (6.13.2) позволяют составить равенство

При предельном переходе обе точки приходят в одну и ту же точку на первая вторая из -области; вместе с тем получаем соотношение

Сославшись теперь на (5.11.9), определим с помощью интеграла типа Коши

Интеграл в этой формуле представляет голоморфную в плоскости, исключая функцию 2. Интегрирование ведется в направлении, оставляющем -область слева. Функция введенная для учета возможных особенностей при и

в соответствии со сказанным ранее принимается равной выражению (6.13.4), если -область — плоскость с круговым отверстием; она равна постоянной (пусть D), когда диск. Итак,

Возвращаясь к формуле (6.13.2) и записав сопряженное с ней выражение, имеем

Этим равенством определяется голоморфная в функция нем определена одной из формул (6.13.8). Слагаемое вычисляется так: входящий в (6.13.8) интеграл определяется для составляется сопряженное с так построенной функцией выражение, и в последнем, чтобы вернуться в -область, z заменяется на Очевидно, что так построенная голоморфная в функция отличается от получающейся формальной заменой в выражении для переменной на Для последней примем обозначение очевидно, эта функция уже не голоморфна в L.