VI.5. Внешняя и внутренняя задачи Дирихле для сжатого эллипсоида (сфероида).
Сравнение форм частных решений уравнений Лапласа (VI. 1.3) и (VI. 1.8) для сферы и для сфероида показывает, что задание искомой гармонической функции на поверхности эллипсоида 
можно также мыслить представлением в форме ряда (VI. 4.1); но в этом случае приходится разбить на отдельные слагаемые каждый член этого ряда:
Вместе с тем
представляет значение при 
гармонических внутри сфероида 
и соответственно вне его 
функций:
причем второе из этих представлений удовлетворяет требованию обращения в нуль на бесконечности (при 
).
Приходим к решению
По (III. 10.8) отрезок нормали 
к поверхности эллипсоида 
определяется равенством
Поэтому
так что, сославшись на формулу (VI. 3.10), определяющую вронскиан решений 
имеем по (VI. 4.3)
Таково выражение плотности потенциала простого слоя на поверхности сфероида 
представляющего гармоническую функцию, определяемую по (VI. 5.3) внутри сфероида и по (VI. 5.4) вне его.
