1.2. Определение линейного тензора деформации.

В -объеме рассматриваются две бесконечно близкие точки (рис. 8):

В -объеме их положения определяются вектор-радиусами

Здесь представляет вектор относительного перемещения двух бесконечно близких точек среды; по (II. 2.6) и

Тензор производную вектора и по направлению представим суммой его симметричной и кососимметричной частей [см. (1.4.8)]:

Первая определяет симметричный тензор второго ранга, называемый линейным тензором деформации и обозначаемый

Матрица компонент этого тензора записывается в виде

Выражения компонент через производные вектора перемещения по (II.2.5) определяются формулами

Диагональные элементы матрицы (1.2.6) в линейной теории упругости называются относительными удлинениями, а удвоенные недиагональные сдвигами. Происхождение этих наименований объяснено ниже (п. 3.6).

Второе слагаемое в формуле (1.2.4) представляет кососимметричный тензор второго ранга

с матрицей компонент

Здесь величины

представляют проекции сопутствующего тензору вектора называемого вектором поворота. По (II.2.8) имеем

Переписав формулы (1.2.5) и (1.2.9) в виде

и сославшись на (1.2.3), а также на (1.4.10), имеем

Второе слагаемое в этой формуле представляет перемещение, обусловленное поворотом бесконечно малой окрестности точки М как твердого тела, а первое определяет перемещение относительно точки точек этой окрестности, создаваемое деформацией

Данное здесь в применении к вектору перемещения и определение линейного тензора деформации распространимо на любой вектор (п. II. 2). Например, применение операции к вектор-радиусу приводит к единичному тензору

так что