1.2. Определение линейного тензора деформации.
В
-объеме рассматриваются две бесконечно близкие точки
(рис. 8):
В
-объеме их положения
определяются вектор-радиусами
Здесь
представляет вектор относительного перемещения двух бесконечно близких точек среды; по (II. 2.6) и
Тензор
производную вектора и по направлению
представим суммой его симметричной и кососимметричной частей [см. (1.4.8)]:
Первая определяет симметричный тензор второго ранга, называемый линейным тензором деформации и обозначаемый
Матрица компонент этого тензора записывается в виде
Выражения компонент
через производные вектора перемещения по (II.2.5) определяются формулами
Диагональные элементы матрицы (1.2.6) в линейной теории упругости называются относительными удлинениями, а удвоенные недиагональные
сдвигами. Происхождение этих наименований объяснено ниже (п. 3.6).
Второе слагаемое в формуле (1.2.4) представляет кососимметричный тензор второго ранга
с матрицей компонент
Здесь величины
представляют проекции сопутствующего тензору
вектора
называемого вектором поворота. По (II.2.8) имеем
Переписав формулы (1.2.5) и (1.2.9) в виде
и сославшись на (1.2.3), а также на (1.4.10), имеем
Второе слагаемое в этой формуле представляет перемещение, обусловленное поворотом бесконечно малой окрестности точки М как твердого тела, а первое определяет перемещение относительно точки
точек этой окрестности, создаваемое деформацией
Данное здесь в применении к вектору перемещения и определение линейного тензора деформации распространимо на любой вектор (п. II. 2). Например, применение операции
к вектор-радиусу
приводит к единичному тензору
так что