§ 3. Упругий цилиндр, упругая сфера

3.1. Цилиндрическая труба под давлением (задача Ляме для нелинейно-упругого несжимаемого материала).

В качестве материальных координат рассматриваются цилиндрические координаты точки начального объема (-объема). Деформация предполагается происходящей с сохранением осевой симметрии; поэтому положение в -объеме точки остающейся в той же меридиональной плоскости, может быть задано в той же цилиндрической системе величинами

Причем

Вектор-радиусы начального и конечного положения точки и базисные векторы в и -объемах представляются в виде

Только диагональные компоненты метрических тензоров отличны от нуля; в -объеме

и в -объеме

По условию несжимаемости материала

Через назовем внутренний и наружный радиусы цилиндра в начальном состоянии; -значения величин в деформированном цилиндре, так что

Поскольку то при внутренний и наружный радиусы деформированного цилиндра. При так что в деформированном цилиндре становится внутренним, наружным радиусом; цилиндр «вывернут наизнанку».

Теперь выражения ковариантных и контравариантных компонент метрического тензора представляется в виде

а главными инвариантами меры деформации Коши будут

Из этих равенств и из (3.1.6) следует соотношение