2.12. О принципе Сен-Венана. Формулировка Мизеса.

В пп. 1.1 и 1.2 этой главы рассматривалось напряженное состояние в неограниченном упругом пространстве, создаваемое силами, распределенными в малом объеме, на достаточном удалении от него. Было показано, что, ограничиваясь учетом величин первой степени относительно линейных размеров этого объема, можно заменить действие такой системы сил ее интегральными характеристиками — главным вектором, главным моментом и силовым тензором. Оказалось, что на достаточном удалении точки наблюдения напряжения, создаваемые главным моментом, имеют тот же порядок, что и создаваемые силовым тензором. Здесь будет показано, что это же явление констатируется и в упругом полупространстве при нагружении его силами, распределенными по малой площадке о его границы

Выберем начало координат в точке О площадки , через обозначатся вектор-радиус какой-либо точки

этой площадки (точки истока), через вектор-радиус точки наблюдения; тогда причем где радиус круга с центром в О, в который можно заключить площадку. С точностью до величин порядка подобно (1.1.4), имеем

Потенциалы введенные в п. 2.4, будем считать компонентами вектора

причем вектор плотности представляет поверхностную силу, компоненты которой были обозначены а интегралы в (2.12.2) представляют главный вектор системы сил и ее силовой тензор; последний разбиваем на симметричную и кососимметричную части:

Вместе с тем

причем

где главный момент системы сил относительно точки О. Итак, в приближении (2.12.1)

По (2.4.17) и (2.4.18) вектор напряжения на площадках, перпендикулярных оси рассмотрением которого ограничимся, чтобы не загромождать вычисления, будет

Вычисление дает

где единичный тензор. Поэтому

Далее имеем

и последнее выражение упрощается, если заметить, что, поскольку

После подстановки в (2.12.7) получаем

Естественно, что это выражение обращается в нуль при так как точка наблюдения должна оставаться вне площадки нагружения. Как и для случая неограниченного пространства, вектор напряжения оказался представленным через главный вектор, главный момент, первый инвариант и девиатор силового тензора.

Слагаемое, определяемое главным вектором, имеет порядок тогда как все остальные слагаемые имеют порядок независимо от того, является ли система статически эквивалентной нулю или нет (то есть будет ли при также или нет). Это заставляет принять более осторожную формулировку принципа Сен-Венана (п. 2.8 гл. IV), предложенную Мизесом (1945): порядок величин напряжений, создаваемых в упругом теле силами, распределенными по малым участкам его границы, на конечном удалении от этих участков уменьшается, если нагружение каждого из них статически эквивалентно нулю.