2.5. Элементарная теория балки.

При удержании в степенных рядах по только не зависящего от слагаемого выражения функции напряжений (2.4.7) представляются в виде

и определяемые по ним напряжения оказываются равными

Здесь, как выше, Эти выражения, конечно, удовлетворяют уравнениям статики в объеме и краевым условиям на продольных сторонах балки, тогда как зависимости Бельтрами не выполнены, так как функции напряжений (2.5.1) при произвольном задании поверхностных сил не являются бигармоническими. Заметим еще, что в представленном решении (2.5.2) торец свободен (в смысле Сен-Венана) от нагружения — на нем продольная и поперечная силы и изгибающий момент равны нулю [см. формулы (2.4.5)].

Определяемые по (2.5.2) распределения напряжений и касательных напряжений, создаваемых нормальным нагружением, принимаются в элементарной теории балки; нормальные напряжения в этой теории не учитываются.

Поскольку функции напряжений (2.5.1) не являются бигармоническими, перемещения следует определить низшим членом разложений в ряд по из общих представлений (2.4.9). Приходим к выражениям

причем

представляет изгибающий момент относительно точки создаваемый поверхностными силами, распределенными по отрезку балки.

Уравнение упругой линии представляется в виде

Итак, элементарная теория полностью содержится в первом члене разложения строгого решения; следующие его члены, содержащие производные от задающих нагружение функций, представляют коррективы, вносимые один за другим в элементарную теорию. Порядок их по отношению к основным слагаемым элементарной теории пропорционален последовательным степеням отношения они оказываются существенными при резко изменяющихся по длине балки поверхностных силах и для сравнительно коротких балок. Можно еще отметить, что эти коррективы определяют статически эквивалентные нулю системы напряжений, так как уравнения статики в объеме и на поверхности уже удовлетворены в исходном приближении (2.5.1).