2.2. Принцип минимума потенциальной энергии системы.
Теперь будет доказано, что стационарное значение функционала 
в положении равновесия является его минимальным значением.
Для разъяснения последующего уточним понятие о приращении функции 
от 
переменных 
зададим им приращения (вариации) 
Тогда приращение функции 
определяется величиной
где первая вариация 
линейное относительно 
слагаемое, вторая 
квадратичное и 
Если теперь 
квадратичная форма переменных 
то 
и поэтому
- вторая вариация квадратичной формы равна этой форме от вариаций переменных. Вместо (2.2.1) имеем
а если форма 
линейна, то, конечно,
Возвращаясь к функционалу 
имеем по (2.1.3)
Но 
не зависят от и, поэтому, сославшись на (2.2.3), имеем
Вместе с тем по (2.2.2)
так как А — квадратичная форма компонент тензора деформации. Приходим к равенству
так что по (2.1.2) или (2.1.4)
Но по (3.3.4) гл. III удельная потенциальная энергия А является положительно-определенной функцией, так что 
при любом отличном от нуля 
Этим доказано, что
— функционал 
возрастает при сообщении точкам упругого тела отклонений из равновесного состояния, иными словами, он имеет минимум в этом состоянии. Пришли к принципу минимума потенциальной энергии системы: состояние равновесия линейно-упругого тела отличается от всех мыслимых его состояний тем, что в нем функционал 
называемый потенциальной энергией системы, имеет минимальное значение. Словом «мыслимый» указывается на то, что сравниваемые с вектором перемещения и непрерывные в объеме V перемещения и 
принимают то же, что и, значение на той части 
поверхности О, где перемещение задано.
Из формулы Клапейрона (3.3.3) гл. III и из (2.1.3) следует, что в положении равновесия
Задача разыскания равновесного состояния линейно-упругого тела сведена к вариационной задаче об определении вектора и, сообщающего минимум функционалу 
над ним и принимающего заданные значения на 
Известно, что задаче вариационного исчисления сопоставляется эквивалентная ей краевая задача. Дифференциальные уравнения и краевые условия последней получаются из рассмотрения вариации минимизируемого функционала — это уравнения Эйлера и натуральные краевые условия, соответствующие этому функционалу.
Переходим к составлению этой вариации. По (3.2.4) гл. III имеем
где 
линейные формы компонент деформации, определяемые равенствами (3.1.5) гл. III. В другой записи [см.
Тензор 
здесь выражен через тензор деформации, а выражая последний через вектор перемещения и и сославшись на вывод уравнений теории упругости в перемещениях в п. 1.3 этой главы, имеем по (1.3.2)
и вместе с тем по (1.3.12)
Заметим, что здесь только для сокращения записей и чтобы не повторять ранее проведенных преобразований, введены величины 
которым сопоставлен тензор 
это лишь обозначения, которым можно и не приписывать никакого наименования.
По (2.2.5) — (2.2.7) имеем теперь 
Здесь учтено, что вектор и разыскивается в классе функций, принимающих на О, заданное значение
так что 
Подстановка в (2.1.2) приводит к равенству
и вследствие произвольности 
в объеме и на той части 
поверхности, где перемещения не заданы, выполнение условия стационарности (2.1.4) требует обращения в нуль подынтегральных выражений в объемном и поверхностном интегралах. Приходим к дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях
и к краевому условию на 
Естественно, что получена именно эта форма уравнений, так как 
функционал над и. Выше уже отмечена несвязанность определения потенциальной энергии системы и формулировки принципа минимума ее с представлением о напряженном состоянии. О последнем нет речи в чисто энергетическом принципе, определяющем поведение линейно-упругого тела по заданию некоторого функционала над вектором перемещения. Подобно принципу Гамильтона в общей механике, принцип минимума потенциальной энергии системы синтезирует свойства физической модели упругого тела, включая экспериментальные данные о поведении его под нагрузкой.
