2.2. Принцип минимума потенциальной энергии системы.

Теперь будет доказано, что стационарное значение функционала в положении равновесия является его минимальным значением.

Для разъяснения последующего уточним понятие о приращении функции от переменных зададим им приращения (вариации) Тогда приращение функции определяется величиной

где первая вариация линейное относительно слагаемое, вторая квадратичное и

Если теперь квадратичная форма переменных то

и поэтому

- вторая вариация квадратичной формы равна этой форме от вариаций переменных. Вместо (2.2.1) имеем

а если форма линейна, то, конечно,

Возвращаясь к функционалу имеем по (2.1.3)

Но не зависят от и, поэтому, сославшись на (2.2.3), имеем

Вместе с тем по (2.2.2)

так как А — квадратичная форма компонент тензора деформации. Приходим к равенству

так что по (2.1.2) или (2.1.4)

Но по (3.3.4) гл. III удельная потенциальная энергия А является положительно-определенной функцией, так что при любом отличном от нуля Этим доказано, что

— функционал возрастает при сообщении точкам упругого тела отклонений из равновесного состояния, иными словами, он имеет минимум в этом состоянии. Пришли к принципу минимума потенциальной энергии системы: состояние равновесия линейно-упругого тела отличается от всех мыслимых его состояний тем, что в нем функционал называемый потенциальной энергией системы, имеет минимальное значение. Словом «мыслимый» указывается на то, что сравниваемые с вектором перемещения и непрерывные в объеме V перемещения и принимают то же, что и, значение на той части поверхности О, где перемещение задано.

Из формулы Клапейрона (3.3.3) гл. III и из (2.1.3) следует, что в положении равновесия

Задача разыскания равновесного состояния линейно-упругого тела сведена к вариационной задаче об определении вектора и, сообщающего минимум функционалу над ним и принимающего заданные значения на Известно, что задаче вариационного исчисления сопоставляется эквивалентная ей краевая задача. Дифференциальные уравнения и краевые условия последней получаются из рассмотрения вариации минимизируемого функционала — это уравнения Эйлера и натуральные краевые условия, соответствующие этому функционалу.

Переходим к составлению этой вариации. По (3.2.4) гл. III имеем

где линейные формы компонент деформации, определяемые равенствами (3.1.5) гл. III. В другой записи [см.

Тензор здесь выражен через тензор деформации, а выражая последний через вектор перемещения и и сославшись на вывод уравнений теории упругости в перемещениях в п. 1.3 этой главы, имеем по (1.3.2)

и вместе с тем по (1.3.12)

Заметим, что здесь только для сокращения записей и чтобы не повторять ранее проведенных преобразований, введены величины которым сопоставлен тензор это лишь обозначения, которым можно и не приписывать никакого наименования.

По (2.2.5) — (2.2.7) имеем теперь

Здесь учтено, что вектор и разыскивается в классе функций, принимающих на О, заданное значение

так что

Подстановка в (2.1.2) приводит к равенству

и вследствие произвольности в объеме и на той части поверхности, где перемещения не заданы, выполнение условия стационарности (2.1.4) требует обращения в нуль подынтегральных выражений в объемном и поверхностном интегралах. Приходим к дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях

и к краевому условию на

Естественно, что получена именно эта форма уравнений, так как функционал над и. Выше уже отмечена несвязанность определения потенциальной энергии системы и формулировки принципа минимума ее с представлением о напряженном состоянии. О последнем нет речи в чисто энергетическом принципе, определяющем поведение линейно-упругого тела по заданию некоторого функционала над вектором перемещения. Подобно принципу Гамильтона в общей механике, принцип минимума потенциальной энергии системы синтезирует свойства физической модели упругого тела, включая экспериментальные данные о поведении его под нагрузкой.