4.8. Деформация кручения сжатого стержня.

При деформации кручения

так что

Обратившись к (4.7.5), (4.7.8), (4.7.4), получим

и уравнения равновесия в объеме сводятся к одному лишь уравнению

На боковой поверхности стержня

и при отсутствии на ней поверхностных сил

Вектор напряжений в поперечном сечении определяется соотношением

Оси направлены по главным центральным осям инерции поперечного сечения стержня в его начальном состоянии. Но при сжатии стержня его поперечное сечение подвергалось преобразованию подобия

Поэтому оси остаются главными центральными осями сжатого стержня

тогда как площадь его поперечного сечения, полярный момент инерции и жесткость при кручении выражаются через эти величины в начальном состоянии с помощью равенств

Обратившись теперь к вычислению главного вектора сил в поперечном сечении сжатого стержня, имеем по (4.8.7), (4.8.5)

Нетрудно проверить, что эта величина равна нулю. Действительно, по (4.8.3), (4.8.4) имеем, например,

Переходим к вычислению главного момента напряжений в поперечном сечении

так как по доказанному главный вектор их равен нулю. Имеем теперь по (4.8.5)

и по (4.8.8), а также (3.13.13) гл. VI

Крутящий момент может оказаться равным нулю, если

Известно, что , причем равенство возможно только для круглого поперечного сечения и концентрического кольца. Для большинства материалов при сжатии длина стержня уменьшается , а его поперечные размеры увеличиваются

Итак, как левая, так и правая части равенства (4.8.10) заключены в интервале (0, 1):

так что по заданным геометрическим характеристикам стержня, если его поперечное сечение отлично от круга (или кольца), может быть определено такое (бифуркационное) значение параметра при котором деформация сжатия сопровождается деформацией кручения при отсутствии крутящего момента на торце стержня.

Значение сжимающей силы при котором может иметь место это явление, ее «критическое» значение, определяется формулой (4.7.4):

Три неизвестных определяются из трех уравнений: (4.8.10), (4.8.11) и уравнения (4.7.2):

В случае несжимаемого материала это уравнение отпадает (оно служит для определения неизвестной и должно быть заменено условием несжимаемости Получаем

причем А — функция инвариантов

Например, для стержня эллиптического сечения из «неогукова» материала (п. 1.4)