3.5. Вторая краевая задача для сферы.

Через в п. 3.1 был назван вектор напряжений на поверхности любой сферы, концентрической со сферой О радиуса На последней вектор задан и может быть представлен рядом по сферическим векторам Лапласа

Этот ряд по (3.1.9) и (3.1.11) представляет значение на поверхности сферы вектора

гармонического внутри сферы, и вектора

гармонического вне ее. Буквой здесь обозначается модуль сдвига.

Решение внешней задачи, как известно, можно получить, заменив на в решении внутренней. Поэтому сначала рассматривается только последняя. По (3.1.9) определение требует знания гармонического скаляра он может быть найден путем исключения гармонического вектора из равенств (3.1.6), (3.1.10). Из последнего уравнения, учитывая, что имеем

Заменив здесь его значением (3.1.6), получим

Теперь, представляя гармонический скаляр суммой гармонических полиномов

имеем

Слева стоит сумма гармонических полиномов степени так что, полагая получаем

и, учитывая, что гармонический вектор степени имеем по (3.1.9)

Вместе с тем по (3.1.6), (3.1.1) находим

Из последней формулы определяется сумма нормальных напряжений

Система приложенных к шару внешних сил должна быть статически эквивалентна нулю — должны обращаться в нуль ее главный вектор V и главный момент

Известно, что интеграл по поверхности сферы от произведения двух поверхностных векторов Лапласа различных порядков равен нулю; поэтому при вычислении интегралов (3.5.8) следует в разложении (3.5.1) сохранить лишь слагаемое У о в первом и во втором. Получаем

так как постоянный вектор. Итак, в разложении вектора поверхностных сил должно отсутствовать постоянное слагаемое а слагаемое подчинено условию

где некоторая однородная квадратичная форма координат х, у, z. Суммирование в формулах (3.5.5) — (3.5.7) следует

начинать с а во второй группе слагаемых (3.5.5) с Заменив на в разложениях (3.5.5), (3.5.7), придем к решениям внешней задачи