2.5. Тензор влияния в упругом полупространстве.

Разыскивается напряженное состояние в упругом полупространстве создаваемое сосредоточенной в его точке силой

В рассмотрение вводятся точка и сила Р:

являющиеся зеркальным отображением точки и силы в плоскости Вектор-радиусы точки наблюдения имеющие начала в обозначаются

Искомое напряженное состояние представляется суммой трех состояний: двух состояний в неограниченном упругом пространстве, создаваемых сосредоточенными силами в точке и состояния лишенного особенностей в полупространстве и выбираемого так, чтобы граница

полупространства оставалась свободной от нагружения, создаваемого состоянием

По (3.5.6) и (3.5.7) гл. IV тензоры равны

Но на плоскости

так что

и краевое условие (2.5.3) приводит к задаче о напряженном состоянии полупространства при только нормальном нагружении ограничивающей его плоскости, что, конечно, ожидалось по соображениям симметрии. Краевые условия записываются в виде

Далее по отдельности рассматриваются каждая из групп слагаемых, входящих в условия (2.5.6). Пары гармонических функций и решающих эти задачи (п. 2.3), обозначим соответственно .

По (2.3.5) имеем

и вместе с тем

Это позволяет переписать (2.5.7) в виде

Правая часть представляет значение на границе области функции, гармонической в области также гармоническая в этой области функция. Итак, равенство (2.5.8) выполняется во всем полупространстве Поэтому, сославшись еще на (2.3.8), имеем

Аналогичное вычисление проводится для второй пары слагаемых в краевом условии (2.5.6). Имеем

и поэтому, сославшись также на (1.4.8), имеем

Решение задачи дается потенциалами

Вектор перемещения вычисляется по формулам (3.5.8), (3.5.9) гл. IV и (2.3.4). Этим решена задача о построении тензора влияния для упругого полупространства.