векторами задается формулами (3.2.4). Из них находится соотношение, определяющее квадрат линейного элемента
в
-объеме:
Здесь в рассмотрение введен тензор
называемый ниже первой мерой деформации (или мерой деформации Коши). Этот тензор по (3.2.1) равен
и определен, как видно из этого представления, в векторном базисе
-объема своими ковариантными компонентами
равными ковариантным компонентам единичного тензора
-объема
имеющего диадное представление (3.1.13),
Было бы ошибочно на этом основании отождествлять тензоры
Контравариантные компопенты
тензора меры деформации определяются по общему правилу перехода от ко- к контравариантным компонентам (IV. 5.4):
и отнюдь не равны контравариантным компонентам
тензора
последние определены формулами (3.1.14) и представляют элементы матрицы, обратной
Вернемся к квадрату линейного элемента (3.3.1); учитывая (3.3.2), (3.3.3), приходим к его известному представлению квадратичной формой дифференциалов
образуемой с помощью матрицы ковариантных компонент тензора
Для вычисления ковариантных компонент первой меры деформации служат формулы (3.1.19):
Введем еще в рассмотрение тензор
обратный
Сославшись на (1.7.14), имеем
и по (3.2.6), (3.2.2), (3.2.3), (3.1.14)
Контравариантные компоненты этого тензора, он обозначается далее еще
в векторном базисе
-объема равны контравариантным компонентам единичного тензора
Вычисление компонент
связано с обращением матрицы
Можно поступить иначе. Примем на минуту декартовы координаты точек
-объема за материальные координаты. Тогда
и по (3.3.7), (3.1.5), возвращаясь к материальным координатам
имеем
Итак, снова получим формулы (3.1.20):
и легко проверить, что матрицы
обратные. Действительно, по (3.3.7)
что и требуется. Вычисление по формулам (3.3.9) требует знания преобразования, обратного (3.1.2), то есть выражения материальных координат через декартовы координаты
-объема.