3.14. Действие сосредоточенных сил.

Рассматривается напряженное состояние в сфере, нагруженной уравновешенной системой сосредоточенных сил приложенных в точках поверхности. Конечно, эта система сил предполагается уравновешенной:

Плоскость, проведенная через вектор-радиус точки приложения силы и линию действия ее, пересечет сферу по

меридиональной плоскости положение меридиональной плоскости проходящей через точку приложения силы и точку наблюдения определяется углом этой плоскости с плоскостью через , обозначается угол в плоскости между векторами

где и — сферические координаты точек приложения сил и точки наблюдения. Очевидно, что ( единичный тензор)

Разложение по сферическим поверхностным векторам Лапласа вектора, представляющего сосредоточенную силу получим путем предельного перехода от поверхностной нагрузки:

Сославшись на (VI. 4.8), имеем

Вместе с тем

так как Далее,

и, следовательно, представление сосредоточенной силы (расходящимся) рядом по полиномам Лежандра будет

Сославшись теперь на (3.5.1), (3.5.2), получаем

Заметим, что ряд

сходится и имеет суммой

так что

Возвращаясь к (3.14.4), получим

и, далее, сославшись на (3.14.3),

так как

Сумма нормальных напряжений по (3.5.7) представляется рядом

Теперь имеем

Снова применив (3.14.7), можно этот результат записать в виде

и распределение напряжений на поверхностях по (3,5.5) записывается в виде

В центре сферы по (VI. 2.12) и (3.7.1) находим

Например, в случае сферы, сжатой двумя сосредоточенными в ее полюсах силами, имеем

и по (3.14.11)

так что нормальные напряжения на площадках, параллельных направлению сил и к ним перпендикулярных, соответственно будут