3.8. Симметричная деформация полого шара (задача Ляме для шара).

Материальными кординатами точки служат сферические координаты (п. III. точки в начальном состоянии шара -объеме)

Отличны от нуля только диагональные компоненты метрического тензора этого состояния:

Деформация предполагается радиально-симметричной: перемещения точек сферы из начального состояния в конечное направлены радиально и зависят лишь от координаты Полый шар остается полым шаром; его наружный и внутренний радиусы в начальном состоянии обозначаются в конечном

Вектор-радиус точки и определяемые по нему базисные векторы в деформированном шаре даются выражениями [см. (III. 8.4)]

Предполагается, что шар подвержен действию постоянного давления изнутри и извне:

При таком нагружении возникают только нормальные напряжения

и формулы связи контравариантных компонент тензора напряжений с его физическими компонентами имеют вид

Компоненты метрического тензора в деформированном шаре и инвариантны меры деформации Коши равны

Закон состояния записывается системой формул

Уравнение статики

раскрывается с помощью деривационных формул (III. 8.4):

Из него следует уже отмеченное выше соотношение

и дифференциальное уравнение

Через физические компоненты тензора оно представляется в более простом виде:

Замечая еще, что можно привести уравнения (3.8.6), (3.8.7) к виду

и эту форму записи можно было непосредственно получить из уравнений статики в сферических координатах деформированного объема.

Остается подставить в уравнение статики значения разности

и напряжения

Приходим к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка для функции краевые условия ее, формулируемые соотношениями (3.8.3), (3.8.12), также нелинейны. Задача громоздка даже для наиболее простых формулировок закона состояния сжимаемого упругого материала.