3.2. Тензор влияния. Теорема Максвелла.

Упругое тело нагружено в точке сосредоточенной силой единичной величины, уравновешенной реакциями связей — опорных устройств. Связи предполагаются идеальными — сумма работ их реакций на всяком перемещении точек упругого тела, находящихся в контакте с опорными устройствами, равна нулю.

Вектор перемещения точки упругого тела, назовем его представляется в виде

Здесь - тензор второго ранга, называемый тензором влияния. Его компонента представляет проекцию на направление перемещения точки вызываемого единичной силой, направленной по

Условившись называть точками истока и наблюдения, рассмотрим два состояния упругого тела — первое: — точка истока, наблюдения,

и второе: точка истока, наблюдения,

По теореме взаимности работа силы на перемещении в точке создаваемой силой равна работе силы на перемещении в точке от силы ем:

или, в другой записи,

Этим выражается свойство тензора влияния, называемое теоремой Максвелла:

Здесь, как всегда, звездочка обозначает операцию транспонирования тензора, так что

что и требовалось.

Знание тензора влияния позволяет представить в квадратурах вектор перемещения при любом задании массовых поверхностных сил:

Ясно, что степень трудности эффективного построения тензора влияния такая же, как и решения краевых задач. Оно просто выполняется для неограниченного упругого пространства, когда краевые условия отпадают (п. 3.5 этой главы).