4.7. Приближенные решения.

Рассматривается задача изгиба силой с линией действия, проходящей через центр жесткости, симметричного профиля, ограниченного кривыми и отрезками прямых Решение вариационного уравнения удовлетворяющего краевому условию (4.6.4), задается в соответствии со способом Л. В, Канторовнча (п. 3.14) в виде

Приходим к соотношению

Из него, проведя интегрирование по х и воспользовавшись произвольностью вариации приходим к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению

где представляет дифференциальный оператор

При любом решение выражается через бесселевы функции; мы ограничимся рассмотрением простейших случаев, когда интегрирование выполняется элементарно.

а) Прямоугольник Здесь и решение записывается в виде

вместо приведенного выше [см. формулы (4.4.9), (4.4.10)] точного решения. Вычисляемые по (4.7.4) значения касательного напряжения при записываемые в форме (4.4.6), для нескольких значений приведены во второй строке таблицы 12 снизу.

б) В случае (трапецеидальное сечение, рассмотренное в п. 3.14 для задачи кручения) дифференциальное уравнение (4.7.2) типа Эйлера интегрируется в квадратурах. Остановимся на двух примерах.

1) Равнобедренный прямоугольный треугольник

2) Равносторонний треугольник

В обоих случаях начало координат расположено в вершине треугольника. При формула (4.7.6) дает точное решение

и интересно отметить, что в этом случае центры жесткости и инерции поперечного сечения совпадают — легко проверить по (4.6.5), что

в) Сегмент параболы ограниченный хордой длины Дифференциальное уравнение (4.7.2), в котором теперь также интегрируется в элементарных функциях (бесселевы функции с «полуцелым» индексом). Получаем

где и выражение координаты центра жесткости (4.6.5) дается формулой

Вычисление по этим формулам дает

Интересно отметить, что использование при малых табличных значений гиперболических функций (с пятыо знаками) не дает правильных числовых результатов; чтобы избегнуть при вычислении малых разностей, следует удержать в разложении в степенной ряд слагаемые до включительно, но этого не требуется для построения пятизначных таблиц.