5.3а. Растяжение стержня силами постоянной интенсивности.

При действии равномерно распределенной по контуру поперечного сечения растягивающей силы и в случае совпадения центров тяжести площади и контура

где периметр контура. Краевое условие (5.3.12) записывается в виде

и для односвязной области, введя для упрощения записей вместо гармоническую функцию

приходим к задаче Дирихле:

Соответствующие напряжения согласно (5.3.6), (5.3 1) определяются по формулам

Для стержня прямоугольного поперечного сечения краевое условие (5.3.1а), если начало отсчета дуг взять в точке , как нетрудно проверить, приведется к виду

и оно удовлетворяется гармонической функцией

В частности, для квадрата и этот результат верен для любого правильного многоугольника и для круга. Действительно, краевое условие (5.3.1а) теперь принимает вид (h - апофема)

Задача становится более сложной для стержня эллиптического поперечного сечения. Введя эллиптические координаты а, Р:

и называя через значение а на контуре сечения эллипса с полуосями имеем

Классическое представление дуги эллипса имеет вид

здесь эллиптический интеграл второго рода в нормальной форме Лежандра с модулем полный эллиптический интеграл второго рода. Имеет место разложение в тригонометрический ряд

причем

Краевое условие (5.3.1а) теперь представляется периодической, как можно было предвидеть, функцией

и решение задачи представляется рядом

Действительно, каждый член этого ряда, являясь мнимой частью функции удовлетворяет уравнению Лапласа; он непрерывен вместе с его производными по а и в сплошном эллипсе (и при переходе через разрез между фокусами!).