5.3а. Растяжение стержня силами постоянной интенсивности.
При действии равномерно распределенной по контуру поперечного сечения растягивающей силы
и в случае совпадения центров тяжести площади
и контура
где
периметр контура. Краевое условие (5.3.12) записывается в виде
и для односвязной области, введя для упрощения записей вместо гармоническую функцию
приходим к задаче Дирихле:
Соответствующие напряжения согласно (5.3.6), (5.3 1) определяются по формулам
Для стержня прямоугольного поперечного сечения
краевое условие (5.3.1а), если начало отсчета дуг взять в точке
, как нетрудно проверить, приведется к виду
и оно удовлетворяется гармонической функцией
В частности, для квадрата
и этот результат верен для любого правильного многоугольника и для круга. Действительно, краевое условие (5.3.1а) теперь принимает вид (h - апофема)
Задача становится более сложной для стержня эллиптического поперечного сечения. Введя эллиптические координаты а, Р:
и называя через
значение а на контуре сечения эллипса с полуосями
имеем
Классическое представление дуги эллипса имеет вид
здесь
эллиптический интеграл второго рода в нормальной форме Лежандра с модулем
полный эллиптический интеграл второго рода. Имеет место разложение в тригонометрический ряд
причем
Краевое условие (5.3.1а) теперь представляется периодической, как можно было предвидеть, функцией
и решение задачи представляется рядом
Действительно, каждый член этого ряда, являясь мнимой частью функции
удовлетворяет уравнению Лапласа; он непрерывен вместе с его производными по а и
в сплошном эллипсе (и при переходе через разрез между фокусами!).