III.10. Вырожденные эллиптические координаты.
Одним из семейств координатных поверхностей служат эллипсоиды вращения вокруг оси 
по отдельности рассматриваются два случая: первый, когда ось вращения эллипсоида является его меньшей осью (сжатые эллипсоиды, сфероиды), второй — его большей осью.
1°. Связь цилиндрических координат с криволинейными
задается формулами
Координатными поверхностями 
служат сжатые эллипсоиды вращения, а 
однополые гиперболоиды вращения вокруг оси 
Два взаимно ортогональных семейства кривых в меридиональном сечении 
представляют эллипсы
и софокусные с ними гиперболы
«Эллипсоид», на котором 
вырождается в круговую пластинку радиуса а
на «верхней» стороне которой 
а на «нижней» 
«Гиперболоид» 
представляет часть плоскости 
вне круга радиуса
Окружность 
в плоскости 
является геометрическим местом фокусов поверхностей (III. 10.2), (III. 10.3) (фокальный круг). На нем 
Область задания параметров 
при решении краевых задач для эллипсоидов определяется неравенствами
а для гиперболоидов — неравенствами
Коэффициенты Ляме вычисляются по формулам (III. 9.5):
так что якобиан преобразования оказывается равным
и фокальный круг является особой линией преобразования.
Выражения единичных векторов триэдра касательных к координатным линиям 
или, что 
рассматриваемом случае ортогональной системы) то же самое, нормалей к поверхностям 
через единичные векторы цилиндрической системы задаются формулами
Приведем еще выражение лапласиана скаляра; по (III. 5.5) имеем
2°. Для второй координатной системы — системы вытянутого эллипсоида
и ортогональные семейства кривых в меридиональной плоскости 
представляют эллипсы
и софокусные с ними двуполые гиперболоиды
с общими фокусами в точках 
на оси 
Областью задания переменных 
служит
«Эллипсоид» 
вырождается в отрезок 
оси 
а «гиперболоиды» 
— в полупрямые 
этой оси. Коэффициенты Ляме равны
Выражение лапласиана имеет вид
