III.10. Вырожденные эллиптические координаты.

Одним из семейств координатных поверхностей служат эллипсоиды вращения вокруг оси по отдельности рассматриваются два случая: первый, когда ось вращения эллипсоида является его меньшей осью (сжатые эллипсоиды, сфероиды), второй — его большей осью.

1°. Связь цилиндрических координат с криволинейными

задается формулами

Координатными поверхностями служат сжатые эллипсоиды вращения, а однополые гиперболоиды вращения вокруг оси Два взаимно ортогональных семейства кривых в меридиональном сечении представляют эллипсы

и софокусные с ними гиперболы

«Эллипсоид», на котором вырождается в круговую пластинку радиуса а

на «верхней» стороне которой а на «нижней»

«Гиперболоид» представляет часть плоскости вне круга радиуса

Окружность в плоскости является геометрическим местом фокусов поверхностей (III. 10.2), (III. 10.3) (фокальный круг). На нем

Область задания параметров при решении краевых задач для эллипсоидов определяется неравенствами

а для гиперболоидов — неравенствами

Коэффициенты Ляме вычисляются по формулам (III. 9.5):

так что якобиан преобразования оказывается равным

и фокальный круг является особой линией преобразования.

Выражения единичных векторов триэдра касательных к координатным линиям или, что рассматриваемом случае ортогональной системы) то же самое, нормалей к поверхностям через единичные векторы цилиндрической системы задаются формулами

Приведем еще выражение лапласиана скаляра; по (III. 5.5) имеем

2°. Для второй координатной системы — системы вытянутого эллипсоида

и ортогональные семейства кривых в меридиональной плоскости представляют эллипсы

и софокусные с ними двуполые гиперболоиды

с общими фокусами в точках на оси Областью задания переменных служит

«Эллипсоид» вырождается в отрезок оси а «гиперболоиды» — в полупрямые этой оси. Коэффициенты Ляме равны

Выражение лапласиана имеет вид