V.6. Тензор Римана — Кристоффеля.
Квадрат линейного элемента в евклидовом пространстве 
представляется суммой квадратов дифференциалов декартовых координат:
При введении криволинейных координат с помощью преобразования (V. 1.2) это выражение приобретает вид квадратичной
формы дифференциалов:
коэффициенты которой — ковариантные компоненты метрического тензора — вычисляются по формулам
когда преобразование 
задано. Поставим, однако, вопрос иначе; предполагается, что квадратичная форма 
задана ее коэффициентами 
и что она определенно-положительна. Тогда говорят, что ею определена метрика в римановом пространстве 
Теперь неизвестным является само преобразование 
, разыскание его сводится к интегрированию системы шести уравнений 
с тремя неизвестными функциями 
искомое преобразование существует лишь при соблюдении условий интегрируемости этой системы. Если эти условия выполнены, то риманово пространство 
вырождается в евклидово 
и положение точки в нем может быть определено в единой декартовой системе осей, а квадрат линейного элемента может быть представлен в евклидовой форме (V. 6.1).
Определенно-положительная форма 
линейным преобразованием переменных может быть приведена к сумме трех квадратов
где 
новые переменные; величины 
(не суммировать!), вообще говоря, не являются дифференциалами некоторых величин, и, только фиксируя 
можно принять 
и этим определить в окрестности рассматриваемой точки 
декартову систему осей 
Этим доказывается возможность локального внесения в 
метрики 
тогда как искомые условия интегрируемости должны обеспечить ее существование во всей области.
Итак, соблюдение этих условий гарантирует существование трех функций 
или, что то же самое, возможность задания положения любой точки вектор-радиусом ее
и возможность внесения координатного базиса, векторами которого 
служат производные 
по координатам 
Тогда
и условия интегрируемости этих соотношений записываются в
Соблюдение этих условий гарантирует интегрируемость выражения
так как условия его интегрируемости
выполняются при принятых определениях (V. 2.6), (V. 2.7) символов Кристоффеля и из свойств симметрии этих величин, обусловленных симметрией компонент метрического тензора — коэффициентов квадратичной формы (V. 6.2).
Развернутая запись условий интегрируемости (V. 6.7) имеет вид
К выражению такой же структуры приходим, рассматривая разность
Действительно, 
смешанная компонента тензора 
Поэтому
и, далее,
или, по 
Структура этого выражения показывает, что величины 
представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам 
и контравариантные по индексу 
Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля; его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2) - евклидово 
Сославшись на теорему Риччи 
можно переписать условие (V. 6.9) в виде
Здесь введены в рассмотрение четырежды ковариантные компоненты тензора Римана — Кристоффеля; они выражаются через символы Кристоффеля первого рода и поэтому легче вычисляются. Действительно,
Учитывая, что
а также развернув выражения производных прямых скобок и сделав замены
придем к следующим выражениям ковариантных компонент тензора Римана — Кристоффеля:
Из них следует:
1) симметричность относительно пар индексов 
2) кососимметричность по индексам 
3) тождества Риччи
Можно доказать, учитывая эти свойства, что из 81 компоненты тензора имеется только шесть независимых:
Они могут быть представлены через симметричный тензор второго ранга — тензор Риччи:
Действительно,
и в евклидовом пространстве
В ортогональных криволинейных координатах этим уравнениям соответствуют зависимости Ляме п. III.6.
