3.10. Применение принципа стационарности потенциальной энергии.

В рассмотренных задачах о цилиндре и шаре простота выражений инвариантов через функции и постоянные параметры, задающие деформацию, допускает достаточно простой вывод уравнений равновесия с помощью принципа стационарности удельной потенциальной энергии.

Остановимся на примере шара. Инварианты зависят от искомой функции и ее производной, поэтому

Элемент объема а варьируемая величина преобразуется к виду

Элементарная работа поверхностных сил давления — на концентрических сферах равна

Здесь учтены очевидные соотношения

и вместе с тем на любой сфере

Приходим к равенству

Из него следует дифференциальное уравнение

и краевые условия

Их развернутая запись по (3.8.5) повторяет (3.8.12), (3.8.3):

тогда как дифференциальное уравнение (3.10.3), конечно, эквивалентно уравнению статики (3.8.8) или (3.8.9):

Приведенный вывод требует только знания выражений инвариантов и выполнения стандартных операций по составлению уравнений, соответствующих вариационной задаче. Нет нужды заботиться о различении контравариантных и физических компонент, записывать выражения закона состояния и т. д.

Запись в развернутом виде громоздка, так как в нее должны войти производные вида

Применение метода Ритца, допускаемое вариационной формулировкой задачи, приводит к рассмотрению нелинейной системы конечных уравнений (по числу введенных в задание искомой функции параметров).