§ 3. Представление закона состояния квадратичным трехчленом

3.1. Квадратичная зависимость между двумя соосными тензорами.

Законы состояния, представленные в § 2, выражают зависимости между парами соосных тензоров Структура этих зависимостей одинакова —

определяемый тензор представляется квадратным трехчленом, равным сумме квадрата, первой и нулевой степени (единичного тензора в или -метрике) тензора, через который он выражен. Коэффициенты этого трехчлена являются функциями инвариантов, определяемыми по заданию удельной потенциальной энергии деформации.

Как указывалось в п. I. 12, возможность установления квадратичной зависимости между соосными тензорами является следствием теоремы Кейли — Гамильтона (1.10.11), позволяющей заменить степени тензора выше второй его нулевой, первой и второй степенями. Этим указывается другой способ вывода закона состояния. Форма связи рассматриваемого тензора напряжения с соответствующей мерой (или тензором) деформации задается квадратным трехчленом, коэффициенты которого далее определяются по условию интегрируемости вариации удельной потенциальной энергии деформации. Легче всего это проследить на примере энергетического тензора напряжений через который эта вариация непосредственно определяется по формуле (2.1.1)