2.8. Принцип Сен-Венана. Энергетическое рассмотрение.

«Принцип упругой эквивалентности статически эквивалентных систем сил» был впервые сформулирован в применении к задаче о напряженном состоянии нагруженного по торцам призматического стержня в классическом мемуаре Сен-Венана «О кручении призм» (1855). Более общую формулировку этого принципа, названного принципом Сен-Венана, дал Буссинек (1885); уточнению рассмотрений Буссинека посвящены работы Мизеса (1945) и Стернберга (1954).

Системы сил называются статически эквивалентными при равенстве их главных векторов и главных моментов относительно одного и того же центра приведения. Очевидно, что система сил статически эквивалентна нулю — равны

нулям ее главный вектор и ее главный момент. Принцип Сен-Венана состоит в утверждении, что статически эквивалентная нулю система сил, распределенных по малому участку поверхности упругого тела, создает лишь локальное напряженное состояние; оно быстро затухает по мере удаления от этого участка и становится пренебрежимо малым на расстояниях, достаточно больших по сравнению с его размерами. Например, напряженное состояние в длинном призматическом стержне, нагруженном только по его конечным поперечным сечениям (торцам), практически не зависит от способа распределения по ним поверхностных сил — оно определяется на некотором расстоянии от торцов лишь их главным вектором и главным моментом.

Рис. 13.

Таким образом, речь идет о возможности замены, при оговоренных требованиях статической эквивалентности и «малости» участка нагружения, одних краевых условий другими. Сознательно или бессознательно та или иная идеализация краевых условий всегда используется при решении (корректно поставленных) задач математической физики. В задачах теории упругости это тем более неизбежно, что детали распределения поверхностных сил чаще всето неизвестны, а возможность замены его другим распределением с теми же интегральными свойствами представляется интуитивно приемлемой. Вместе с тем ясно, что приведенную формулировку принципа Сен-Венана, имеющую лишь качественный характер, следует дополнить возможными количественными оценками.

Одна из таких попыток, принадлежащая Занабони (1937) и Локателли (1940, 1941), состоит в оценке доли потенциальной энергии деформации, заключенной в частях тела, нагруженного статически эквивалентной системой сил, примыкающих к месту загружения и удаленных от него.

Рассматривается тело нагруженное по участку поверхности статически эквивалентной нулю системой сил потенциальная энергия деформации тела обозначается . К телу по участку его свободной поверхности присоединим ничем не нагруженное тело (рис. 13) и потенциальную энергию

единого образовавшегося тела назовем Докажем, что

Действительно, назовем через статически эквивалентную нулю систему сил в сечении тела это та ранее свободная часть поверхности тела которую пришлось подвергнуть деформированию, чтобы слить в единое тело Потенциальная энергия деформации части тела равна , тогда как в части этого тела заключена потенциальная энергия

где работа ранее приложенных сил обусловленная тем, что участок тела загруженный этими силами, деформируется вследствие приложения по сил Итак,

Этапы этого рассуждения иллюстрируются рис. 13, а — г.

С истинным состоянием равновесия, когда силами создается напряженное состояние, дающее в сечении систему сил сравнивается состояние, в котором эта система (при тех заменена пропорционально измененной системой сил Отметим, что система уравнений статики, описывающих поведение тела нагруженного по статически эквивалентной нулю системой 12, линейна; поэтому и система создается статически возможной системой напряжений, что делает допустимым применение принципа минимума дополнительной работы.

При указанном пропорциональном изменении сил потенциальные энергии становятся равными тогда как должно быть заменено на так как в отношении изменились лишь деформации, а силы остались неизменными. Итак, варьированное выражение потенциальной энергии тела должно быть записано в виде

и поэтому

Здесь а само выражение разности (2.8.3) по теореме о минимуме дополнительной работы должно оставаться положительным независимо от знака Поэтому

и выражение (2.8.2) записывается в виде

Знак равенства невозможен, так как силы всегда возникают при наличии Предложение (2.8.1) доказано. Продолжая процесс мысленного присоединения к телу тела и т. д., имеем

На втором этапе этого рассуждения сравниваются потенциальные энергии, создаваемые системами сил как видно из этих обозначений и рис. 14, первая система сил развивается в сечении тела соединенного с ненагруженным телом а вторая — в более удаленном от места загружения силами сечении между телами

Рис. 14.

По (2.8.5) имеем при втором способе образования тела

а при первом

Из этих равенств имеем

или, как следовало ожидать,

Определим функционал равный потенциальной энергии деформации тела, вычисляемой по напряжениям, создаваемым силами развивающимися в сечении от нагружения тела статически эквивалентной нулю системой сил Из доказанного неравенства (2.8.9) следует, что уменьшается при удалении сечения от места нагружения. Поскольку положительно-определенный функционал, его можно принять за интегральную меру самих напряжений; найденные оценки указывают на уменьшение этой меры при удалении от места загружения и служат подтверждением принципа Сен-Венана.

К другим оценкам самих напряжений мы вернемся ниже, в п. 2.12-2.14 гл. V,