5.9. Стационарное распределение температуры.

Температура в стационарном тепловом режиме при плоской деформации (средняя температура в обобщенном плоском напряженном состоянии) задается гармонической функцией координат

При этом условии функция напряжений по (5.7.6) и (5.8.4) является бигармонической, а ее лапласиан — гармонической функцией.

Будучи гармонической однозначной функцией, температура представима в двусвязной области выражением

Функция комплексного переменного, для которой является вещественной частью, обозначаемая определяется равенством

так что

Здесь и далее звездочкой обозначается однозначная (голоморфная) часть функции комплексного переменного.

В последующих записях имеется в виду плоская деформация. Представив в виде

приходим по (5.7.7), (5.7.8), (5.7.10) к формулам

Сразу же становится очевидной целесообразность рассмотрения функции

с помощью которой эта система соотношений может быть представлена в виде

При этих обозначениях выражение главного вектора напряжений на любой дуге -области по (1.14.7) дается формулой

и при свободном от нагружения контуре краевое условие на нем однородно

Поэтому, если функция однозначна:

что во всяком случае гарантировано, когда односвязная конечная область и при отсутствии в ней тепловых источников, то решением задачи служит

При этом по (5.9.8) отсутствуют напряжения

а однозначный вектор перемещения по (5.9.9) оказывается равным

Напряжение определяется из обобщенного закона Гука условием

Рассмотрим теперь случай свободной от нагружения двусвязной области, когда условия (5.9.12) не соблюдены; тогда нулевое решение (5.9.13) непригодно, так как соответствующий ему вектор перемещения не был бы однозначен. Требование его однозначности и статическое условие обращения в нуль главного вектора напряжений на любом не сводимом непрерывным преобразованием в точку контуре в приводят к рассмотрению в точности тех же соотношений, которые были использованы в п. 5.5 при установлении характера неоднозначности функций определяемых дисторсией. Здесь постоянные дисторсии равны по величине и противоположны по знаку постоянным, определяющим характер многозначности функции в правой части (5.9.15). Сославшись на (5.5.3) и (5.9.4), имеем

так что

По (5.5.5) имеем теперь

Вторая краевая задача при ненагруженном контуре сводится теперь к разысканию голоморфных (значит, однозначных) в функций по условиям на

причем

Разыскание температурных напряжений требует знания лишь логарифмического слагаемого и слагаемого, пропорционального в выражении температуры (5.9.2). Задание температуры используется при разыскании вектора перемещения и напряжения по (5.9.9) имеем

и из сравнения с (5.9.20) следует, что на свободном от нагружения контуре

Этим обобщается равенство (5.9.15) на случай двусвязной области. В самой области формула (5.9.21) может быть записана в виде

Отсюда следует, что

— главный вектор напряжений по любому замкнутому контуру в равен нулю.

Формулировка первой краевой задачи основывается на соотношении (5.9.21). Например, в случае упругого тела, заключенного в абсолютно жесткую и шероховатую обойму, отделенную от тела теплоизолирующей прокладкой,

По (5,9.23) распределение поверхностных реактивных сил, создаваемых обоймой, дается равенством

причем определяется по решению краевой задачи (5.9.25).