5.9. Стационарное распределение температуры.
Температура в стационарном тепловом режиме при плоской деформации (средняя температура в обобщенном плоском напряженном состоянии) задается гармонической функцией координат
При этом условии функция напряжений по (5.7.6) и (5.8.4) является бигармонической, а ее лапласиан — гармонической функцией.
Будучи гармонической однозначной функцией, температура представима в двусвязной области
выражением
Функция комплексного переменного, для которой
является вещественной частью, обозначаемая
определяется равенством
так что
Здесь и далее звездочкой обозначается однозначная (голоморфная) часть функции комплексного переменного.
В последующих записях имеется в виду плоская деформация. Представив
в виде
приходим по (5.7.7), (5.7.8), (5.7.10) к формулам
Сразу же становится очевидной целесообразность рассмотрения функции
с помощью которой эта система соотношений может быть представлена в виде
При этих обозначениях выражение главного вектора напряжений на любой дуге
-области по (1.14.7) дается формулой
и при свободном от нагружения контуре
краевое условие на нем однородно
Поэтому, если функция
однозначна:
что во всяком случае гарантировано, когда
односвязная конечная область и при отсутствии в ней тепловых источников, то решением задачи служит
При этом по (5.9.8) отсутствуют напряжения
а однозначный вектор перемещения по (5.9.9) оказывается равным
Напряжение
определяется из обобщенного закона Гука условием
Рассмотрим теперь случай свободной от нагружения двусвязной области, когда условия (5.9.12) не соблюдены; тогда нулевое решение (5.9.13) непригодно, так как соответствующий ему вектор перемещения не был бы однозначен. Требование его однозначности и статическое условие обращения в нуль главного вектора напряжений на любом не сводимом непрерывным преобразованием в точку контуре
в
приводят к рассмотрению в точности тех же соотношений, которые были использованы в п. 5.5 при установлении характера неоднозначности функций
определяемых дисторсией. Здесь постоянные дисторсии равны по величине и противоположны по знаку постоянным, определяющим характер многозначности функции в правой части (5.9.15). Сославшись на (5.5.3) и (5.9.4), имеем
так что
По (5.5.5) имеем теперь
Вторая краевая задача при ненагруженном контуре сводится теперь к разысканию голоморфных (значит, однозначных) в
функций по условиям на
причем
Разыскание температурных напряжений
требует знания лишь логарифмического слагаемого и слагаемого, пропорционального
в выражении температуры (5.9.2). Задание температуры используется при разыскании вектора перемещения и напряжения
по (5.9.9) имеем
и из сравнения с (5.9.20) следует, что на свободном от нагружения контуре
Этим обобщается равенство (5.9.15) на случай двусвязной области. В самой области
формула (5.9.21) может быть записана в виде
Отсюда следует, что
— главный вектор напряжений по любому замкнутому контуру в
равен нулю.
Формулировка первой краевой задачи основывается на соотношении (5.9.21). Например, в случае упругого тела, заключенного в абсолютно жесткую и шероховатую обойму, отделенную от тела теплоизолирующей прокладкой,
По (5,9.23) распределение поверхностных реактивных сил, создаваемых обоймой, дается равенством
причем
определяется по решению краевой задачи (5.9.25).