2.2. Частная задача Буссинека.
В неограниченной упругой среде приложение силы, имеющей направление оси
и приложенной в начале координат, создает напряженное состояние, определяемое по (3.5.6) гл. IV равенством
где С — далее определяемый коэффициент пропорциональности. Вектор напряжения на плоскости
поэтому равен
Но таким же законом по (1.4.6) задается распределение на плоскости
напряжений, определяемых с помощью потенциала (1.4.3) Буссинека:
и можно удовлетворить требованию отсутствия напряжений на этой плоскости, связав постоянные
равенством
Теперь по (3.5.5), (3.5.6) гл. IV и по (1.4.4), (1.4.5) имеем
Постоянная С определяется из уравнения равновесия выделенного из среды полушара произвольного радиуса
с центром в точке приложения силы
где
элемент площади поверхности единичной полусферы
, а
Имеем
где многоточием отмечены слагаемые, не вносящие вклада в интеграл (2.2.6). Получаем
и этим завершается решение частной задачи Буссинека. Выражения перемещений приводятся к виду
Весьма простыми и не зависящими от коэффициента Пуассона оказываются выражения напряжений на плоскостях, параллельных границе полупространства: