4.4. Прямоугольное поперечное сечение.
Длины сторон, параллельных осям х и у, обозначаются
Достаточно принять теперь
тогда по (4.3.5)
Напряжения определяются формулами (4.3.3):
Решение разыскивается в форме ряда, удовлетворяющего краевым условиям на сторонах
Тогда для определения неизвестных функций
приходим к соотношению
причем справа представлено разложение в тригонометрический ряд периодической функции, равной у при
Решение получающейся краевой задачи
четное по х, записывается в виде
а учитывая соотношение
придем к выражениям напряжений
Элементарное решение, получаемое по формуле (4.1.6), представлено параболическим распределением напряжений
Максимум напряжения
будет иметь место на оси у в точках
наиболее резкого изменения рельефа мембраны:
В книге С. П. Тимошенко и Гудье приведена небольшая таблица значений этих функций (для
.
Таблица 12
Из таблицы следует, что элементарная теория хорошо согласуется с точной при
и значительно расходится с пей уже при
В задаче изгиба длинной узкой полосы
можно в первом приближении не учитывать краевых условий на коротких ее сторонах
в мембранной аналогии это соответствует предположению, что прогиб (как и нагрузка мембраны) линейно зависит от у. Тогда по (4.4.1), (4.4.2)
— касательные напряжения в центре полосы оказываются в
раз меньше вычисляемых по элементарной теории; при
они составляют 80% последних, что согласуется с данными вышеприведенной таблицы уже при
Конечно, это решение непригодно при
но, основываясь на нем, можно точное решение дифференциального уравнения (4.4.1) искать в виде
Тогда определяется из краевой задачи
решение которой записывается в виде (см. п.3.8)
Напряжения представляются выражениями
и при
наибольшими оказываются не учитываемые элементарной теорией горизонтальные напряжения
на сторонах
в точках
близких к углам прямоугольника. Например,