4.4. Прямоугольное поперечное сечение.

Длины сторон, параллельных осям х и у, обозначаются Достаточно принять теперь тогда по (4.3.5)

Напряжения определяются формулами (4.3.3):

Решение разыскивается в форме ряда, удовлетворяющего краевым условиям на сторонах

Тогда для определения неизвестных функций приходим к соотношению

причем справа представлено разложение в тригонометрический ряд периодической функции, равной у при Решение получающейся краевой задачи

четное по х, записывается в виде

а учитывая соотношение

придем к выражениям напряжений

Элементарное решение, получаемое по формуле (4.1.6), представлено параболическим распределением напряжений

Максимум напряжения будет иметь место на оси у в точках наиболее резкого изменения рельефа мембраны:

В книге С. П. Тимошенко и Гудье приведена небольшая таблица значений этих функций (для .

Таблица 12

Из таблицы следует, что элементарная теория хорошо согласуется с точной при и значительно расходится с пей уже при

В задаче изгиба длинной узкой полосы можно в первом приближении не учитывать краевых условий на коротких ее сторонах в мембранной аналогии это соответствует предположению, что прогиб (как и нагрузка мембраны) линейно зависит от у. Тогда по (4.4.1), (4.4.2)

— касательные напряжения в центре полосы оказываются в раз меньше вычисляемых по элементарной теории; при они составляют 80% последних, что согласуется с данными вышеприведенной таблицы уже при Конечно, это решение непригодно при но, основываясь на нем, можно точное решение дифференциального уравнения (4.4.1) искать в виде

Тогда определяется из краевой задачи

решение которой записывается в виде (см. п.3.8)

Напряжения представляются выражениями

и при наибольшими оказываются не учитываемые элементарной теорией горизонтальные напряжения на сторонах в точках близких к углам прямоугольника. Например,