2.4. Примеры напряженных состояний.

1°. В напряженном состоянии чистого сдвига отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных а также напряжения Тензор задается равенством

и его характеристическое уравнение (2.1.5) имеет вид

Главные напряжения равны

Система уравнений (2.1.6), определяющих главную ось напряжения будет

Одно из них должно быть следствием прочих, в данном случае второе повторяет первое. Получаем

и аналогично найдем

Главные оси имеют показанные на рис. 6 направления диагоналей квадрата, а главная ось направлена по что, впрочем, следовало из задания тензора.

Расположение кругов Мора показано на том же рис. 6. Главные касательные напряжения и интенсивность касательных напряжений равны

Этим объясняется выбор множителя 2/3 в определении (2.2.11) величины Шаровая часть в случае чистого сдвига

отсутствует, равно как и нормальные напряжения на октаэдрических площадках, полное касательное напряжение на них равно

Описанное здесь состояние чистого сдвига не сопровождается в изотропной нелинейно-упругой среде деформацией простого сдвига (см. п. 6.3 гл. II). Реализация последней требует приложения также нормальных напряжений.

Рис. 6.

2°. В подвергающемся кручению вокруг его оси линейноупругом стержне возникает напряженное состояние, определяемое тензором

Инварианты этого тензора равны

и его характеристическое уравнение по (I. 10.3) будет

Главные напряжения оказываются равными

а направления главных осей задаются таблицей косинусов

где Напряженное состояние по граням параллелепипеда с ребрами, имеющими направления главной оси и перпендикуляра к ней в плоскости представляет чистый сдвиг интенсивности (рис. 7).

Рис. 7.

В этих осях выражение тензора записывается в виде

3°. Тензор одинаковых касательных напряжений задается равенствами

Его инварианты равны

и главные напряжения, определяемые корнями кубического уравнения

оказываются равными

Направление первой главной оси определяется вектором норма ли октаэдрической площадки

а главные оси расположены в плоскости, перпендикулярной и определены с точностью до поворота вокруг этой оси. По (1.9.14) тензор представим в виде

Цилиндрик, ось которого имеет направление подвергается растягивающему напряжению вдоль оси и сжимающему то по боковой поверхности.

4°. Электростатическая система напряжений Максвелла задается тензором

в котором плотность свободных зарядов, диэлектрическая постоянная (предполагается, что она не зависит от — вектор напряженности электростатического поля. Оно возникает в поле объемных сил, действующих на диэлектрик:

Учитывая соотношения

где V — потенциал поля, имеем

Главные оси и главные напряжения находим почти без вычисления. По определению главных осей (1.9.1)

и сразу видно, что можно удовлетворить этому уравнению, приняв

Остающиеся решения получим, задавая единичному вектору произвольные направления в плоскости, перпендикулярной :

По направлению поля действуют растягивающие напряжения, а в поперечных направлениях равные им по величине сжимающие напряжения.

5°. Сосуд под равномерным давлением. Напряженное состояние, определяемое шаровым тензором

является статически возможным в сосуде, подверженном извне и изнутри одинаковому давлению; это следует из того, что при

таком задании тензора напряжения и при отсутствии объемных сил удовлетворяется уравнение равновесия в объеме (1.5.4), а на любой поверхности выполняется условие

что и требуется. Это статически возможное состояние действительно реализуется в линейно-упругом теле.