2.4. Примеры напряженных состояний.
1°. В напряженном состоянии чистого сдвига отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных
а также напряжения
Тензор
задается равенством
и его характеристическое уравнение (2.1.5) имеет вид
Главные напряжения равны
Система уравнений (2.1.6), определяющих главную ось напряжения
будет
Одно из них должно быть следствием прочих, в данном случае второе повторяет первое. Получаем
и аналогично найдем
Главные оси
имеют показанные на рис. 6 направления диагоналей квадрата, а главная ось
направлена по
что, впрочем, следовало из задания тензора.
Расположение кругов Мора показано на том же рис. 6. Главные касательные напряжения и интенсивность касательных напряжений равны
Этим объясняется выбор множителя 2/3 в определении (2.2.11) величины
Шаровая часть
в случае чистого сдвига
отсутствует, равно как и нормальные напряжения на октаэдрических площадках, полное касательное напряжение на них равно
Описанное здесь состояние чистого сдвига не сопровождается в изотропной нелинейно-упругой среде деформацией простого сдвига (см. п. 6.3 гл. II). Реализация последней требует приложения также нормальных напряжений.
Рис. 6.
2°. В подвергающемся кручению вокруг его оси
линейноупругом стержне возникает напряженное состояние, определяемое тензором
Инварианты этого тензора равны
и его характеристическое уравнение по (I. 10.3) будет
Главные напряжения оказываются равными
а направления главных осей задаются таблицей косинусов
где
Напряженное состояние по граням параллелепипеда с ребрами, имеющими направления
главной оси
и перпендикуляра к ней
в плоскости
представляет чистый сдвиг интенсивности
(рис. 7).
Рис. 7.
В этих осях выражение тензора записывается в виде
3°. Тензор одинаковых касательных напряжений задается равенствами
Его инварианты равны
и главные напряжения, определяемые корнями кубического уравнения
оказываются равными
Направление первой главной оси определяется вектором норма ли октаэдрической площадки
а главные оси
расположены в плоскости, перпендикулярной
и определены с точностью до поворота вокруг этой оси. По (1.9.14) тензор представим в виде
Цилиндрик, ось которого имеет направление
подвергается растягивающему напряжению
вдоль оси и сжимающему то по боковой поверхности.
4°. Электростатическая система напряжений Максвелла задается тензором
в котором
плотность свободных зарядов,
диэлектрическая постоянная (предполагается, что она не зависит от
— вектор напряженности электростатического поля. Оно возникает в поле объемных сил, действующих на диэлектрик:
Учитывая соотношения
где V — потенциал поля, имеем
Главные оси и главные напряжения находим почти без вычисления. По определению главных осей (1.9.1)
и сразу видно, что можно удовлетворить этому уравнению, приняв
Остающиеся решения получим, задавая единичному вектору
произвольные направления в плоскости, перпендикулярной
:
По направлению поля действуют растягивающие напряжения, а в поперечных направлениях равные им по величине сжимающие напряжения.
5°. Сосуд под равномерным давлением. Напряженное состояние, определяемое шаровым тензором
является статически возможным в сосуде, подверженном извне и изнутри одинаковому давлению; это следует из того, что при
таком задании тензора напряжения и при отсутствии объемных сил удовлетворяется уравнение равновесия в объеме (1.5.4), а на любой поверхности выполняется условие
что и требуется. Это статически возможное состояние действительно реализуется в линейно-упругом теле.