4.3. Интегральные уравнения второй краевой задачи.
Решение однородных уравнений теории упругости в перемещениях разыскивается в форме первого потенциала (3.6.1)
с неизвестным вектором плотности
Вычисляемый, как указано в п. 3.5, по вектору
тензор напряжений равен
Здесь, как и ранее,
а отличие в знаке от (3.5.12) объясняется тем, что при переходе от (4.3.1) к формуле (4.3.2) дифференцирования проводились по координатам точки
Законность дифференцирований под знаком интеграла в (4.3.1) не вызывает сомнения, поскольку точка
не расположена на О, так что
Вектор напряжения на площадке с нормалью
определяется равенством
причем, как следует из (4.3.2), несимметричный тензор второго ранга
равен
Этот тензор существенно отличается от
тем, что в его определение входит нормаль к площадке в точке
а не
Вместе с тем по (3.5.12) сумма
представляет ядро потенциала со слабой особенностью (вида
предельные значения которого извне и изнутри равны друг другу и равны его прямому значению (подобно случаю первого потенциала)
Поэтому
Но, подобно (4.2.2),
так что
и аналогично
Сравнивая еще (4,3.5) с (3.5,12) и учитывая, что
имеем
Поэтому, введя в рассмотрение заданные на О распределения поверхностных сил
где в обоих случаях
единичный вектор нормали, внешней к
и сославшись на (4.3.4), (4,3.7), (4.3.8), (4.3.9), приходим к интегральным уравнениям второй внутренней
и второй внешней
краевых задач:
Заметим, что во второй формуле (4,3,10) определение поверхностной силы отличается знаком от ее обычного задания как произведения внешней к
нормали на тензор напряжения.
Замечание, Сославшись на (3,5,9), можно представление вектора перемещения (4,3,1) в виде первого потенциала записать еще так:
или, после замены
его значением
Это решение в форме Папковича — Нейбера (1.4.10), когда за гармонические вектор и скаляр приняты потенциалы