4.3. Интегральные уравнения второй краевой задачи.

Решение однородных уравнений теории упругости в перемещениях разыскивается в форме первого потенциала (3.6.1)

с неизвестным вектором плотности Вычисляемый, как указано в п. 3.5, по вектору тензор напряжений равен

Здесь, как и ранее,

а отличие в знаке от (3.5.12) объясняется тем, что при переходе от (4.3.1) к формуле (4.3.2) дифференцирования проводились по координатам точки Законность дифференцирований под знаком интеграла в (4.3.1) не вызывает сомнения, поскольку точка не расположена на О, так что

Вектор напряжения на площадке с нормалью определяется равенством

причем, как следует из (4.3.2), несимметричный тензор второго ранга равен

Этот тензор существенно отличается от тем, что в его определение входит нормаль к площадке в точке а не Вместе с тем по (3.5.12) сумма

представляет ядро потенциала со слабой особенностью (вида

предельные значения которого извне и изнутри равны друг другу и равны его прямому значению (подобно случаю первого потенциала)

Поэтому

Но, подобно (4.2.2),

так что

и аналогично

Сравнивая еще (4,3.5) с (3.5,12) и учитывая, что имеем

Поэтому, введя в рассмотрение заданные на О распределения поверхностных сил

где в обоих случаях единичный вектор нормали, внешней к и сославшись на (4.3.4), (4,3.7), (4.3.8), (4.3.9), приходим к интегральным уравнениям второй внутренней и второй внешней краевых задач:

Заметим, что во второй формуле (4,3,10) определение поверхностной силы отличается знаком от ее обычного задания как произведения внешней к нормали на тензор напряжения.

Замечание, Сославшись на (3,5,9), можно представление вектора перемещения (4,3,1) в виде первого потенциала записать еще так:

или, после замены его значением

Это решение в форме Папковича — Нейбера (1.4.10), когда за гармонические вектор и скаляр приняты потенциалы