7.7. Задача Файлона.

Рассматривается нагружение сплошного цилиндра касательными усилиями постоянной интенсивности равномерно распределенными по двум участкам боковой поверхности

Можно принять, что эта схема описывает загружение испытуемого на растяжение цилиндрического образца, которому передается с помощью кольцевых захватов через заплечики (высоты ) растягивающее усилие

Распределение касательных напряжений по поверхностям, отделяющим заплечики от тела стержня, считается равномерным.

Краевые условия (7.6.12) теперь записываются в виде

причем — нечетная функция, задаваемая при равенствами

Коэффициенты ее разложения в ряд по синусам равны

Тогда, задавая в соответствии с (7.6.6), (7.6.7) функции тригонометрическими рядами

придем, записав краевые условия (7.7.1), к уравнениям

определяющим неизвестные коэффициенты Зная по (7.1.5), (7.1.6) составляем выражения напряжений и перемещений. Вместе с тем по (7.6.14)

причем суммирование проведено с помощью ряда

Добавив это равномерно распределяемое по сечению цилиндра напряжение к напряжению вычисляемому по полученному решению в форме тригонометрического ряда, придем к распределению напряжений

статически эквивалентному нулю на торцах цилиндра. Через обозначено выражение

и при подстановке в (7.7.6) следует заменить

В приводимой ниже таблице, вычисленной Файлоном для значений

приведены распределения нормальных напряжений в различных сечениях цилиндра. Через обозначено среднее значение при заметим, что при среднее значение этого напряжения, конечно, равно нулю.

Таблица 5. Отношение

В последней строке дается распределение напряжения в сечении, расположенном уже в загруженной части цилиндра. Из таблицы можно заключить, что распределение нормальных напряжений выравнивается при удалении от места загружения. Но даже в среднем сечении эти напряжения изменяются в пределах от 69% до 112% от среднего значения. Это объясняется тем, что в рассмотренном случае цилиндр загружен по значительной части (1/3) его боковой поверхности; применение принципа Сен-Венана недопустимо.