II.2. Дифференциальные операции в векторном поле.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

II.2. Дифференциальные операции в векторном поле.

Известно что операции над двумя векторами сводятся к построениям их скалярного инварианта вектора и тензора — диады . В соответствии с этим простейшей дифференциальной операцией в векторном поле служит образование скалярного произведения набла-оператора на вектор:

Этот скаляр называется дивергенцией вектора.

Следующий шаг — образование вектора

называемого ротором (вихрем) вектора.

Наконец, образование диады приводит к тензору второго ранга

— градиенту вектора. Транспонированный тензор

имеет матрицу компонент

Произведение справа этого тензора на вектор приводит к вектору

и, основываясь на этом равенстве, естественно называть тензор производной вектора а по вектор-радиусу и принять обозначение

Выделяя из тензора его симметричную часть, получаем тензор

называемый деформацией вектора а. Сопутствующий тензору вектор о по (1.4.9) определяется равенством

Обозначая еще через кососимметричную часть имеем

причем

Получаем

Применение набла-оператора к композициям из двух векторов иллюстрируется приводимыми ниже примерами.

1°. Градиент скалярного произведения

Это правило дифференцирования вполне аналогично (II. 1.4). Его записывают еще в другой форме, вводя в рассмотрение вектор, называемый производной по направлению а: