§ 4. Интегральные оценки напряженного состояния

4.1. Моменты функции.

Условимся называть моменты порядка функции заданной в V-объеме, интегралы

где неотрицательные целые числа, сумма которых

При имеется чисел с суммой при число чисел с суммой равно д. Поэтому общее число моментов порядка равно

4.2. Моменты компонент тензора напряжений.

Уравнения равновесия в объеме (1.5.6) позволяют записать соотношений

Первое слагаемое преобразуется по формуле Гаусса — Остроградского

причем использованы уравнения равновесия на поверхности (1.5.15)

Теперь введя обозначения

придем к соотношениям

Их правые части при заданных объемных и поверхностных силах (по всей поверхности О, ограничивающей объем V) известны. Число уравнений (4.2.3) равно , а число неизвестных — числу моментов порядка для шести функций то есть .

4.3. Случаи n = 0, n = 1.

При и три уравнения

выражают условия обращения в нуль главного вектора внешних сил.

При приходим к девяти уравнениям, содержащим шесть неизвестных; из них находим средние значения шести компонент тензора напряжений

причем условия симметричности этого тензора

выражают требования обращения в нуль трех компонент ного момента внешних сил.

4.4. Моменты напряжений первого порядка.

При приходим к 18 уравнениям с таким же числом неизвестных

Уравнения распадаются на две группы:

Из них находим все моменты первого порядка всех шести компонент тензора напряжений. Например, моменты первого порядка напряжений (поделенные на объем) равны

4.5. Пример. Сосуд под внешним и внутреннимдавлением.

Объем тела обозначается а внутренней полости ограничивающие эти объемы поверхности назовем Поверхностные силы создаются равномерно распределенными по давлениями — внешним внутренним так что

где единичные векторы внешних по отношению к телу нормалей к поверхностям (вектор направлен внутрь полости Начало системы осей совмещено с центром тяжести объема тела (материала), так что

где координаты центров тяжести объемов

По (4.2.1) при пренебрежении массовыми силами имеем

где объем материала. Условия равновесия (4.3.1), (4.3.3), конечно, выполняются. По (4.3.2), (4.4.2), (4.4.3),

учитывая (4.5.2), находим средние значения нормальных напряжений и их первых моментов

Средние значения и первые моменты касательных напряжений равны нулю:

4.6. Пример. Главный вектор и главный момент напряжений в плоском сечении тела.

Рассматривается часть загруженного массовыми и поверхностными силами тела V, отсеченная от него плоскостью Объем этой части назовем он ограничен поверхностью где — часть поверхности О тела площадь плоского сечения. При этих обозначениях, принимая в объеме имеем по (4.2.1)

так как на плоскости . В (4.6.1) первое слагаемое определяется заданными внешними силами. Из уравнений равновесия (4.3.1), (4.3.3) находим теперь выражения:

а) перерезывающих сил

б) растягивающей силы

в) крутящего момента

г) изгибающих моментов относительно осей

Индексом обозначается среднее значение по площади

4.7. Оценка среднего значения квадратичной формы компонент тензора напряжений.

Для упрощения записей здесь используются одноиндексные обозначения

В рассмотрение вводится положительная 6X6 матрица постоянных. Через обозначен интеграл по объему тела от знакоопределенной положительной квадратичной формы:

(опущены знаки суммирований по Система осей совмещена с главными центральными осями инерции объема

и вводятся обозначения

так что

представляют квадраты радиусов инерции относительно главных осей

Рассматриваемая как функция коэффициентов функция имеет минимум при условиях

Поскольку определитель из них следует, что стационарное значение являющееся вследствие ее знакоопределен ной положительности минимумом, достигается при значениях параметров равных

и вычисляемых с помощью формул (4.3.2), (4.4.2), (4.4.3) по заданию внешних сил. Этот минимум, если еще раз обратиться к формулам (4.7.3), оказывается равным

Приходим к неравенству

Со знаком оно имеет место и для положительной знакопостоянной формы Пусть, например, все кроме одного равны нулю. Тогда

В задаче о сосуде по (4.5.3) и (4.5.4) неравенство

согласно с (2.4.10) выполняется при со знаком равенства. Пусть теперь полагая только одно имеем неравенство

показывающее, что наличие полости сопровождается повышением напряжений; это следует из того, что при отсутствии полости и по (2.4.10) в формуле (4.7.9) надо принять знак равенства.

4.8. Оценка удельной потенциальной энергии деформированного линейно-упругого тела.

Эта величина, как будет показано в п. 3.2 гл. III, выражается через инварианты тензора напряжений по формуле

где модуль Юнга, коэффициент Пуассона материала. Неравенство (4.7.6) позволяет дать следующую оценку этой величины; вычисляемую по заданию внешних сил. Обозначим

и также

(суммирование по индексу от 1 до 3 с заменой единицей). Тогда

4.9. Оценка удельной интенсивности касательных напряжений.

Квадрат этой величины, равный абсолютному значению второго инварианта девиатора тензора напряжения, по (2.2.11), а также со ссылкой на формулы (1.11.8), (1.10.5), может быть записан в виде

Это — знакопостоянная положительная форма, так как она обращается в нуль при По (4.7.6) имеем

Согласно критерию Мизеса неравенство во всем объеме тела предел текучести материала) гарантирует отсутствие в нем зон пластической деформации; поскольку то условие представляет необходимое, но, конечно, не достаточное условие недостижимости предела текучести. Поэтому неравенство

является достаточным признаком наличия зон пластичности, тогда как неравенство противоположного знака

представляет необходимое условие их отсутствия. Как уже говорилось, эти критерии выражены с помощью формул через внешние объемные и поверхностные внешние силы (последние предполагаются заданными по всей поверхности О тела).

4.10. Моменты напряжений второго и более высокого порядка.

Если 3, то число уравнений (4.2.3) меньше числа неизвестных. Например, при имеем 30 уравнений с 36 неизвестными. Однако 15 неизвестных (при любом оказывается возможным определить. Это девять величин

и шесть величин вида

4.11. Оценка снизу максимума компонент напряжений.

Вывод формулы (4.7.6) для оценки снизу среднего значения квадратичной формы компонент тензора напряжений основывался только на свойствах ортонормированности (4.7.3), (4.7.4) в объеме V четырех полиномов (нулевой и первой степени)

и его можно применить к более общей системе ортонормированных полиномов

Например, к основной системе (4.11.1) можно присоединить один из полиномов второй степени

причем

Вычисление становится более громоздким при присоединении к основной системе не одного, а двух полиномов, например полинома и полинома содержащего тогда придется позаботиться об ортогональности не только с основными полиномами, но с

Пусть построена ортонормированная в V система полиномов

Тогда введя в рассмотрение вместо (4.7.2) выражение более общего вида

и повторив вывод в п. 4.7, придем к более общему, чем (4.7.6), неравенству

причем знак равенства может иметь место, если знакопостоянная положительная форма.

Пусть все кроме одного с одинаковыми индексами, равны нулю. Тогда, учитывая, что

придем к оценке снизу максимума модуля

Она представляется весьма грубой, но ее можно уточнить, увеличивая ее правую часть путем присоединения новых ортонормированных в V полиномов. При выборе их, однако, надо позаботиться о возможности выразить величины

через вычисляемые по заданным нагрузкам моменты высоких порядков (4.10.1) и (4.10.2).

Например, если ограничиться в этих формулах то при разыскании кроме основных полиномов (4.11.1), можно использовать еще построенный выше полином а для дальнейшего уточнения еще один полином, ортонормированный с предшествующими пятью полиномами, включающий слагаемое или Дальнейшее уточнение требует уже построения системы семи ортонормированных полиномов (четырех основных и трех квадратичных, содержащих Этим при возможность дальнейшего уточнения будет исчерпана. Аналогично строятся оценки максимумов остальных компонент. Например, наилучшая оценка при снизу с помощью формулы (4.11.7) может быть достигнута с помощью шести полиномов: полиномов и ортонормированного с ними полинома, содержащего

4.12. Уточненная оценка.

Исходим из равенства

в котором некоторые постоянные. Тогда, поскольку модуль интеграла в левой части не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, имеем

и, возвращаясь к (4.12.1), приходим к неравенству

Вхождение в знаменатель правой части интеграла от модуля существенно усложняет вычисление, но преимуществом этой

формулы по сравнению с (4.11.6) является наличие постоянных распоряжаясь которыми можно увеличивать правую часть неравенства.

Полагая

имеем по (4.11.6)

Теперь примем в неравенстве (4.12.2)

и через у назовем его правую часть:

Полагая в известном неравенстве Буняковского — Шварца

имеем

В приложении к знаменателю правой части (4.12.5) это неравен ство с учетом (4.11.5) дает

откуда следует, что

Итак, оценка снизу по неравенству (4.12.3) хуже, чем даваемая неравенством (4.12.2), если в последнем выбрать постоянные по (4.12.4). Например, если только одна из постоянных отлична от нуля, то по (4.12.2) и (4.12.4)

и эта оценка точнее, чем (4.11.7).

В качестве примера приведем оценку снизу максимума модуля температуры 0 линейно-упругого тела при адиабатическом нагружении. По (3.5.8) гл. III имеем

где — температура, отсчитываемая от натурального состояния (при отсутствии нагружения), абсолютная температура в этом состоянии, а — коэффициент линейного расширения, теплоемкость при постоянном давлении; через а обозначен первый вариант тензора напряжения По (4.12.3), ограничиваясь только основными полиномами (4.11.1), имеем

Более точная оценка по формуле (4.12.5) дает