3.13. Вращающийся шар.
Тензор напряжений
и вектор перемещения и представляются в виде
где
— частные решения (3.11.6), (3.11.5), определяемые действием центробежных сил. Записывая
в виде
имеем, сославшись на (VI.2.12), (VI.2.16),
где, как выше в и. 3.4, введен единичный вектор
так что
Условие отсутствия нагружения на поверхности шара
записывается в виде
или
Здесь
гармонические при
векторы
а
— сферические векторы Лапласа, определяемые по
причем
Вектор перемещения определяется по формулам (3.6.3), (3.6.4), (3.6.8) и (3.13.1), (3.11.5). В п. 4.5 приведены более общие формулы для случая эллипсоида вращения. В полюсе и на экваторе шара вектор перемещения оказывается равным
где
единичные векторы цилиндрической системы координат. В применении к Земле, задаваясь сжатием у полюсов
и принимая
находим
это приблизительно значение модуля сдкига стекла.
Вектор напряжения на поверхности шара
определяемый по (3.5.5), оказывается равным
Вместе с тем
и поэтому на экваторе и в полюсе шара
Векторы
коллинеарны соответственно
поэтому на экваторе и в полюсе касательные напряжения
отсутствуют, а приведенные формулы определяют нормальные напряжения
и соответственно
Сумма нормальных напряжений в центре шара определяется по (3.5.7):
Отсюда и из (3.13.8) имеем
Равенство нормальных напряжений
в центре шара, впрочем, следует и из соображений симметрии.