3.13. Вращающийся шар.

Тензор напряжений и вектор перемещения и представляются в виде

где — частные решения (3.11.6), (3.11.5), определяемые действием центробежных сил. Записывая в виде

имеем, сославшись на (VI.2.12), (VI.2.16),

где, как выше в и. 3.4, введен единичный вектор так что

Условие отсутствия нагружения на поверхности шара записывается в виде

или

Здесь гармонические при векторы

а — сферические векторы Лапласа, определяемые по

причем

Вектор перемещения определяется по формулам (3.6.3), (3.6.4), (3.6.8) и (3.13.1), (3.11.5). В п. 4.5 приведены более общие формулы для случая эллипсоида вращения. В полюсе и на экваторе шара вектор перемещения оказывается равным

где единичные векторы цилиндрической системы координат. В применении к Земле, задаваясь сжатием у полюсов и принимая находим это приблизительно значение модуля сдкига стекла.

Вектор напряжения на поверхности шара определяемый по (3.5.5), оказывается равным

Вместе с тем

и поэтому на экваторе и в полюсе шара

Векторы коллинеарны соответственно поэтому на экваторе и в полюсе касательные напряжения отсутствуют, а приведенные формулы определяют нормальные напряжения и соответственно

Сумма нормальных напряжений в центре шара определяется по (3.5.7):

Отсюда и из (3.13.8) имеем

Равенство нормальных напряжений в центре шара, впрочем, следует и из соображений симметрии.