8.9. Двусвязная область.

Предполагается, что известно конформное преобразование

кругового кольца плоскости , ограниченного окружностями радиусов на двусвязную область плоскости Принимается, что наружному контуру (внутреннему ) этой области соответствует внутренняя окружность (наружная ) кольца.

Рассматривается случай, когда системы поверхностных сил на каждом из контуров по отдельности статически эквивалентны нулю. Тогда существует решение вспомогательной задачи о нагружении односвязной области, ограниченной

контуром Предполагается, что это решение известно; им определяются нормальное и касательное напряжения на контуре вектор Тогда, рассмотрев для двусвязной области задачу с краевыми условиями

и наложив на него решение вспомогательной задачи, приходим к решению задачи, в котором оба контура нагружены заданным образом. В дальнейшем поэтому рассматривается случай, когда наружный контур не нагружен. По (5.2.10) на любом контуре области в который преобразуется окружность в кольце, вектор дается выражением

причем по (5.2.7) квадрат вектора нормали будет

Переходя в (8.9.3) к переменной и обозначая

приходим к соотношению

На окружности имеем и первое краевое условие (8.9.2) приводится к виду

Оно удовлетворяется, если определить в кольце равенством

Краевое условие на записывается в виде

Поверхностную силу на задаваемую рядом Фурье

можно рассматривать как значение на функции от , определенной в кольце рядом Лорана

Это позволяет дать еще одно представление функции аналогичное (8.9.7),

Сопоставление двух представлений одной и той же функции приводит к соотношению связи

Решение этого функционального уравнения должно разыскиваться в форме ряда Лорана, в котором отсутствует слагаемое вида

Тогда такое же слагаемое будет отсутствовать и в представлении Лорана функции

Из второго представления (8.9.7) видно, что функция

также не содержит слагаемого Поэтому представления функций

будут лишены логарифмических членов, что гарантирует однозначность вектора перемещения (отсутствие дисторсии).