§ 2. Определение вектора перемещения по линейному тензору деформации

2.1. Совместность деформаций (зависимости Сен-Венайа).

Ставится задача об определении вектора перемещения — его трех проекций называемых кратко перемещениями, по заданному линейному тензору деформации Иначе говоря, речь идет об интегрировании системы шести дифференциальных уравнений

заданные правые части которых непрерывны вместе с их производными первого и второго порядков. Число уравнений (шесть) превосходит число неизвестных (три), поэтому задача может иметь решение только при наложении некоторых условий на задание компонент тензора Это поясняется таким рассмотрением: представив себе среду разделенной на элементарные кубики, сообщим каждому из отдельно взятых кубиков деформацию, подвергнув его малым растяжениям и малым сношениям первоначально прямых углов между ребрами; полученные тела можно будет снова сложить в сплошную (лишенную разрывов) среду лишь при надлежащей согласованности деформаций отдельных кубиков. Это обеспечивается при существовании непрерывного вместе с его производными по крайней мере до третьего порядка вектора перемещения и, так что заданный тензор является его деформацией Иначе говоря, речь идет об условиях интегрируемости системы уравнений (2.1.1); сказанное объясняет и другие наименования — условия сплошности и условия совместности деформаций. На их важное значение в механике сплошной среды указал Сен-Венан, поэтому принят также термин «зависимости Сен-Венана».

Исходим из формулы (1.2.14). В ее правую часть входит неизвестный кососимметричный тензор и его надо исключить из рассмотрения. Но условием интегрируемости соотношения (1.2.14), то есть существования вектора и, служит по (II.6.5) обращение в нуль ротора тензора

так как Приходим к условию

Выражение ротора кососимметричного тензора дается формулой (II. 3.9):

поскольку

так как первый инвариант ротора симметричного тензора равен нулю.

Приходим к соотношению

и, снова обратившись к (II. 6.5), записываем условие его интегрируемости в виде

При его выполнении по (2.1.4) имеем

Теперь правая часть выражения в формуле (1.2.14) полностью известна и выполнено условие ее интегрируемости (2.1.3) — из него при соблюдении условия (2.1.5) определен вектор Поэтому последнее и представляет условие интегрируемости соотношения (1.2.14). Этим, кстати, объясняется наименование условие несовместимо с существованием вектора, для которого симметричный тензор был бы деформацией (см. п. II. 4).

Запись шести условий обращения в нуль тензора следует из таблицы компонент (II.4.15) тензора Эти же условия можно получить, исключив перемещения из системы уравнений (2.1.1). Процесс исключения ведется так. Рассматривая три уравнения

замечаем, что их левые части удовлетворяют тождеству

Из него получаем одно из трех условий, выражающих требование обращения в нуль диагональных компонент

Одним из тождеств второй группы является

Оно приводит к соотношению

Остающиеся условия получаем из (2.1.7) и (2.1.8) с помощью круговой перестановки индексов.

Отметим еще, что формула (2.1.5), конечно, применима к линейному тензору деформации любого вектора а (не только вектора перемещения):

Симметричный тензор, «несовместность» которого равна нулю, представляет деформацию некоторого вектора. Это предложение было использовано в п. 1.6 гл. I.