5.2. Краевые задачи для односвязной конечной области.

Пусть

— функция, осуществляющая конформное отображение единичного круга в область через обозначается значение на окружности обозначаемой у. Не нарушая общности, можно принять, что центру круга соответствует начало координат в области Существенно предположение

обеспечивающее (при однозначную разрешимость в равенства (5.2.1) относительно . Выполнение условия (5.2.2) на у обеспечивается отсутствием угловых точек на границе области Итак,

причем можно считать вещественным числом. Обращая ряд (5.2.3), придем к представлению в форме степенного ряда, сходящегося в

Функции Н. И. Мусхелишвили голоморфные в представляются в у голоморфными функциями

Этим устанавливается представимость функций сходящимися в рядами по степеням

Комплексное число, определяющее единичный вектор внешней к нормали к обозначается

Вместе с тем на

Поэтому

Функции при преобразовании (5.2.1) приводятся к виду

Вектор поверхностной силы на

где - проекции на нормаль и касательную к представим по (1.13.4) и (1.14.4) в виде

В частности, когда окружность, возвращаемся к формулам

Главный вектор поверхностных сил на дуге I контура дается формулой (1.14.7):

причем левая ее часть определена до аддитивной постоянной. Другая запись условия на во второй краевой задаче дается формулой (5.2.10):

Далее вводятся обозначения

По (5.2.2) эти функции голоморфны в у. Очевидно, что

и это позволяет переписать (5.2.12) в виде

Условия на первой краевой задачи записываются в виде

По (5.2.11)

так что, зная по решению первой (или второй) краевой задачи сразу же по заданному на контуре вектору и (или ) находим (или ).

По определению голоморфные в области функции однозначны в ней. Поэтому сама представимость решений краевых задач в односвязной конечной области через функции Мусхелишвили обусловливает однозначность напряжений и перемещений. Из формул (5.2.11) и (5.2.16) легко заключать, что следствием однозначности этих функций является обращение в нуль главного вектора и главного момента системы поверхностных сил на (и на любом замкнутом контуре в Обратно, условие статической эквивалентности нулю этой системы сил гарантирует однозначность этих функций и, значит, существование решения.