IV.2. Вектор в косоугольном базисе.

Вектор а может быть представлен его разложениями в основном и во взаимном базисах:

Здесь немой индекс. В ранее принятых обозначениях, когда использовались ортогональные декартовы координаты (ортогональный триэдр единичных векторов не было нужды в различении верхних и нижних индексов. В общем тензорном анализе оно должно последовательно проводиться; немые индексы всегда располагаются один сверху, второй снизу, а свободные имеют одинаковое расположение в левой и правой частях формулы. По повторяющемуся дважды снизу или дважды сверху индексу суммирование не ведется. Например (три слагаемых), тогда как запись представляет одночлен (значение при

По (IV. 2.1) и (IV. 1.3) имеем

Величины называют контравариантными, ковариантными компонентами а. Они равны произведениям проекций вектора а на векторы взаимного и соответственно основного базисов на модули этих векторов:

Рис. 51.

Другое истолкование основывается на представлении (IV. 2.1); каждое слагаемое в суммах представляет ребро косоугольного параллелепипеда, построенного на векторах основного и взаимного базисов, а — диагональ этого параллелепипеда. Это показано на рис. 51, построенном в предположении, что вектор перпендикулярен плоскости векторов а вектор а расположен в ней. Пояснение терминов и «контравариантный» дается ниже (п. IV. 6).

Формулы, выражающие одни компоненты через другие, следуют из (IV. 1.3), (IV. 1.4):

Величины

называются физическими компонентами а, они равны проекциям этого вектора на Квадрат величины вектора по (IV. 2.1)

можно представить в одном из видов