3.10. Двусвязная область.

Поперечное сечение скручиваемого стержня является кольцевой областью ограниченной извне контуром и изнутри контуром площади внутри обозначаются так что Предполагается известным конформное преобразование в кругового кольца о плоскости функция, осуществляющая это преобразование, задается в а рядом Лорана

Через обозначаются радиусы окружностей переходящих в этом преобразовании в

Функция напряжений решающая задачу кручения для области представляется в виде (3.3.5):

причем по (3.3.2) — (3.3.4)

Из условий (3.10.4) сразу же следует, что

Предполагая известной функцию напряжений для сплошного стержня (для области 50), представим в виде

Действительно, лапласиан над равен —2 и эта функция равна нулю на остается подчинить выбор постоянных условию (3.10.3) на Через

обозначим значение на -периодиче-ская функция О, представимая тригонометрическим рядом

и через коэффициенты этого ряда легко выражаются неизвестные Решение (3.10.2) теперь записывается в виде

При сохранении первого слагаемого в выражение комплексной функции кручения (3.2.6) вошел бы член, пропорциональный депланация не была бы однозначной. Этим определяется выбор

Переходим к вычислению геометрической жесткости; по (3.4.2) для двусвязной области имеем

Здесь учтено, что при переходе к интегрированию по площади кругового кольца о элемент площади следует заменить произведением элемента площади кругового кольца на квадрат модуля производной преобразующей функции через С обозначена геометрическая жесткость сплошного стержня (площадь , ограниченная контуром ).

Проекция вектора на касательную к траектории касательного напряжения определяемая по (3.1.12), равна

так как . В частности, на принадлежащих семейству траекторий контурах

Модуль x вектора касательного напряжения равен абсолютной величине выражения (3.10.11).