3.5. Элементарная работа внешних сил.

Рассматривается состояние равновесия среды в -объеме, ограниченном поверхностью О и подверженном действию массовых К и поверхностных сил Согласно принципу виртуальных перемещений элементарная работы всех внешних и внутренних сил на виртуальном перемещении точек сплошной среды из ее равновесного состояния равна нулю:

Поле виртуальных перемещений задается вектором

так как в виртуальном перемещении из положения равновесия в -объеме вектор индивидуализирующий рассматриваемую частицу в -объеме, сохраняет неизменное значение

Выражение элементарной работы внешних сил представляется в виде

Заменив во втором слагаемом поверхностную силу ее значением и используя правила преобразования поверхностного интеграла в объемный (II. 5.5) и тождество (II. 3.10), имеем по (II. 3.11) и

и возвращаясь к (3.5.3), (3.5.2), получим

Вместе с тем по определению (V. 4.3) набла-оператора в метрике -объема

и, учитывая симметрию тензора имеем

Теперь, сославшись на (3.3.1) и на (3.3.3) гл. II, приходим к соотношению

Но по (3.6.3) гл. II

так как тензор при варьировании в V-объеме остается неизменным. Это позволяет переписать (3.5.5), (3.5.1) в виде

В рассмотрение еще вводится элементарная работа сил, отнесенных к единице объема среды в начальном ее состоянии (в -объеме), — удельная элементарная работа

Тогда по (3.5.6) и вследствие произвольности выбора объема

Это выражение можно получить и более наглядным путем, вычислив элементарную работу перечисленных в п. 3.3 сил, действующих в -объеме на элементарное тело, ограниченное поверхностями при этом надо иметь в виду, что

виртуальные перемещения точек противоположных граней отличаются вектором

В частном случае, когда шаровой тензор, описывающий гидростатическое напряженное состояние (всестороннее равномерное сжатие) интенсивности — имеем

и, далее, сославшись на (1.7.9),

или

Здесь по (5.5.1) гл. II через обозначено относительное изменение объема. Пришли к результату, который можно было предвидеть.

Замечания. 1. Виртуальными в объеме V сплошной среды являются произвольные бесконечно малые перемещения, не нарушающие ее сплошности, а на ограничивающей ее поверхности О — такие, которые согласуются с наложенными связями. Поэтому на части поверхности, на которой перемещения заданы,

Поверхностные силы на наперед неизвестны. Это силы реакций тех приспособлений, которые сообщают точкам заданные перемещения и (например, реакции неподвижных опор, если Но это не препятствует записи выражения элементарной работы поверхностных сил в форме

так как на выполнено условие (3.5.11).

2. Знак в выражениях элементарной работы и удельной элементарной работы применен для обозначения бесконечно малых величин, а введением штриха указывается, что эти величины не являются, вообще говоря, вариациями некоторых функций. Не существует величины вариация которой равна удельной работе внешних (или внутренних) сил.

3.6. Энергетический тензор напряжений. Мера деформации определялась в базисе -объема формулами (3.3.2), (3.3.3) гл. II:

так что

Тензор же напряжений представляется в базисе V-объема через его контравариантные компоненты выражением (3.1.1). Поэтому

то есть удельная элементарная работа внешних сил не выражается через свертку (первый инвариант произведения) тензоров напряжения и вариации первой меры деформации

Введем поэтому в рассмотрение тензор

контравариантные компоненты которого в базисе -объема равны контравариантным компонентам тензора напряжений в базисе -объема. Тогда

и, далее,

Здесь удельная элементарная работа представлена сверткой тензора называемого поэтому энергетическим тензором напряжений, с вариацией первой меры деформации.

Связь тензоров может быть представлена и в инвариантном виде. Сославшись на формулы (3.2.3) гл. II, имеем

и поэтому

и по (3.6.3), а также (3.2.6) гл. II

Заметим, что в уравнения статики в объеме (3.3.3) и на поверхности (3.3.8) входят компоненты тензора являющиеся

одновременно и компонентами (в другой метрике) тензора Но, конечно, было бы ошибкой записывать эти уравнения в виде

Представим тензоры их разбиениями на шаровые и девиаторные части:

Тогда по (3.6.4) выражение удельной элементарной работы представится в виде

так что, имея в виду соотношения единичный тензор в -метрике)

получим представление удельной элементарной работы суммой двух слагаемых:

В линейной теории упругости первое называют удельной элементарной работой изменения объема, второе — изменения формы. В нелинейной теории такая интерпретация не имеет места.