II.6. Преобразование Стокса.

Известно, что линейный интеграл (циркуляция) вектора по дуге С

не зависит от выбора С, а определяется лишь координатами начальной и конечной точек при условии

Тогда

Аналогичное равенство для линейного интеграла от тензора

имеет место при условии

Действительно, тогда

Аналогично доказывается, что условием независимости от пути интеграла

служит равенство

Согласно теореме Стокса

— циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через произвольную поверхность, опирающуюся на этот контур. Поверхность, не выходящую из рассматриваемого объема, можно построить на замкнутом контуре, сводимом в точку непрерывным преобразованием, при котором не пересекается граница области; в односвязном объеме — это любой замкнутый контур.

Рис. 50.

Однако в двусвязном объеме, например в торе или в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами, существуют контуры? назовем их -контурами, сводимые непрерывным преобразованием друг к другу, но не сводимые в точку. Таковы осевая линия в торе, окружность в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, охватывающая внутренний цилиндр. Двусвязная область может быть превращена в односвязную проведением барьера. Например, область между коаксиальными цилиндрами становится односвязиой, если построить плоский барьер, проходящий через ось цилиндра и начинающийся на ней. После проведения барьера двусвязная область не теряет связности, не распадается на два куска.

Пусть выполнено условие интегрируемости (II. 6.2). Но поскольку теорема Стокса не может быть применена к -контуру, циркуляция по нему может быть отличной от нуля; скаляр

в этом случае — неоднозначная функция координат:

причем циклическая постоянная одна и та же для всех -контуров. Доказательство заключается в рассмотрении интеграла по замкнутому контуру (рис. 50), сводимому непрерывным преобразованием в точку. К нему применима теорема Стокса

и, поскольку

имеем

что и требуется.

Сказанное здесь распространяется на интегралы вида (II. 6.4). При соблюдении условия интегрируемости (II. 6.5)

причем с — циклический постоянный вектор, один и тот же для всех -контуров.