1.2. Система сил, распределенных в малом объеме. Формулы Лауричелла.

Рассматривается действие на среду системы сил приложенных в окрестности точки в точках с вектор-радиусами имеющими начало в точке Тогда перемещение точки будет геометрической суммой перемещений (1.1.9), создаваемых каждой силой по отдельности. Вводятся в рассмотрение: а) главный вектор системы сил

б) ее главный момент относительно точки

в) тензор системы сил

г) и его первый инвариант

При непрерывном распределении сил по линии, поверхности, объему эти суммы заменяются соответствующими интегралами. Теперь вектор перемещения в точке представляется в виде

Рассмотрим случай силового диполя — так называется система двух равных, противоположно направленных сил с общей линией действия; направление этой прямой зададим единичным вектором тогда

причем произведение назовем интенсивностью диполя, а тензор дипольным моментом. В формулах (1.2.1) — (1.2.4) теперь

и перемещение в точке от диполя в точке по (1.2.5) представляется в виде

Силовой тензор, определяемый тремя диполями одинаковой интенсивности а по трем взаимно перпендикулярным направлениям, является шаровым:

Такая особенность называется центром расширения, его интенсивность; ей соответствующее перемещение по (1.2.5) равно

Без труда находится напряженное состояние, создаваемое центром расширения; имеем

Компоненты тензора напряжения в сферической системе координат [см. (1.9.4) гл. IV] можно записать в виде

Такое напряженное состояние реализуется в упругой среде, снабженной полостью радиуса по поверхности которой распределено нормальное давление интенсивности

В этом радиально-симметричном напряженном состоянии перемещения и напряжения равны

Перемещение от системы трех ориентированных по взаимно ортогональным направлениям диполей, с суммой интенсивностей, равной нулю, определяется только четвертым слагаемым формулы (1.2.5), так как в этом предположении силовой тензор является девиатором.

Перемещение, создаваемое парой, не равно перемещению от ее момента, так как второе слагаемое формулы (1.2.5)

представляет перемещение от сочетания пар с равным нулю силовым тензором. Такая особенность называется центром вращения; ее можно, например, представить совокупностью четырех равных по величине сил, расположенных в одной плоскости и образующих пары одного направления вращения:

Для такой системы сил

причем алгебраическая сумма моментов пар. Перемещение, определяемое центром вращения, по (1.2.5) равно

Это распределение перемещений создается в упругой среде, если впаянному в нее твердому шару радиуса сообщить поворот, задаваемый вектором Таково решение наиболее простой из эластостатических задач Робена (п. 4.7 гл. IV). Вектор напряжения на площадке с нормалью здесь оказывается равным

и по поверхности сферы с наружной нормалью

Главный вектор этой системы сил равен нулю, а ее главный момент будет

так как . К шару должен быть приложен момент противоположного знака (он передается среде через поверхность полости). Пришли к ожидаемому результату (1.2.12).

Приведенными примерами показана возможность построения силовых систем (сила, центр вращения, центр расширения, силовые диполи), соответствующих каждой из введенных особенностей по отдельности. Этим доказано, что каждая из четырех групп слагаемых формулы (1.2,5) представляет некоторое частное решение уравнений теории упругости, непрерывное

вместе со своими производными в любой области с исключенной точкой, в которой сосредоточена особенность.

Понятие особенностей, определяемых силовым тензором, было использовано Лауричелла (1895) для представления компонент тензора деформации упругого тела через внешние силы. Вывод формул Лауричелла основан на применении теоремы взаимности Бетти к двум состояниям: 1) первое состояние создается поверхностными силами (при отсутствии объемных), причем через и, обозначаются вектор перемещения и тензор напряжения в этом состоянии; 2) второе состояние и, задается: а) действием в точке силового тензора, определяющего вектор перемещения и тензор напряжения и б) наложением на это действие напряженного состояния снимающего нагружение поверхности О тела. Вектор перемещения в этом состоянии и тензор напряжения равны

так что по условию

чем определяются конечные и непрерывные в объеме тела функции

Теорема взаимности применяется к объему, ограниченному извне поверхностью О тела, а изнутри сферой 2 с центром в через обозначается единичный вектор нормали, внешней к сфере (внутренней к рассматриваемому объему). Тогда, сославшись на (1.2.17), имеем

и применение теоремы взаимности приводит к соотношению

Поскольку [см. (1.2.5)] перемещения и напряжения, создаваемые особенностью типа силового тензора, в точке становятся бесконечными соответственно как достаточно, как станет ясным из приведенного ниже вычисления, принять, что в объеме сферы

так как слагаемые более высокой степени относительно отпадут в предельном переходе

Обратившись к (1.2.5) и переходя от поверхностных интегралов к объемным, имеем

где Сославшись на (II.3.10) и учитывая, что имеем

и, далее,

Нетрудно также видеть, что

и поэтому

Заменив еще тензор и его первый инвариант выражениями

найдем

Переходя ко второму слагаемому в формуле (1.2.18), заметим, что вычисляемый по и тензор напряжений оказывается равным

и поэтому

Теперь имеем

и искомое выражение (1.2.18) приводится к виду

В частности, для центра расширения положив получим

Для силового диполя ее и по (1.2.20), (1.2.6) относительное удлинение по оси диполя будет

Наконец, рассматривая особенность, задаваемую силами в точке соответственно в точках (причем имеем

и по (1.2.20) приходим к выражениям сдвигов

Фактически вычислить входящие в эти формулы интегралы, конечно, можно, лишь зная вектор перемещения и, представляющий в сумме аналог функции Грина, соответствующий данной особенности.