Вектор напряжения на торцевой поверхности равен
и распределение напряжений на ней статически эквивалентно главному вектору
и главному моменту 2
Здесь
элемент площади поверхности
Полагая
где в терминологии теории балок
перерезывающие,
растягивающая силы, а
— изгибающие,
- крутящий моменты, и используя формулы (III.9.8), имеем
Вместе с тем
так что
Краевые условия на боковой поверхности, очевидно, записываются в виде
Поскольку боковая поверхность не нагружена, главный вектор V и главный момент
напряжений, распределенных по торцевой поверхности, не зависят от
Это следует из простейших соображений статики: силы, приложенные к телу, ограниченному двумя произвольно взятыми поверхностями
и боковой поверхностью
находятся в равновесии, так что их главный вектор и главный момент один и тот же на любой поверхности
Далее на распределение напряжений по этим поверхностям накладывается лишь требование их статической эквивалентности заданным
Так поставленная задача распадается на четыре существенно различных задачи: 1) растяжение продольной силой
кручение моментом
изгиб парой
изгиб силой
Напряженное состояние в задачах 1) и 2), как подсказывают формулы (4.1.7), (4.1.8), можно считать осесимметричным, причем в задаче растяжения отличны от нуля напряжения
и перемещения
а в задаче Кручения — напряжения
и перемещение
(см. п. 1.10 гл. IV). Более сложны задачи изгиба: в них отличны от нуля все компоненты тензора напряжения и вектора перемещения; в соответствии с (4.1.7), (4.1.8) можно принять в задаче
на (4.1.2), принять
значит,
Приходим к равенствам