§ 4. Тела вращения

4.1. Интегральное уравнение равновесия.

Применяя обозначения рассмотрим тело вращения с ненагруженной боковой поверхностью ортогональные ей поверхности будем называть торцевыми; принимается, что поверхность вырождается в ось вращения и на ней

и что поверхность представляет на плоскости область внутри окружности радиуса

Вектор напряжения на торцевой поверхности равен

и распределение напряжений на ней статически эквивалентно главному вектору

и главному моменту 2

Здесь элемент площади поверхности Полагая

где в терминологии теории балок перерезывающие, растягивающая силы, а — изгибающие, - крутящий моменты, и используя формулы (III.9.8), имеем

Вместе с тем

так что

Краевые условия на боковой поверхности, очевидно, записываются в виде

Поскольку боковая поверхность не нагружена, главный вектор V и главный момент напряжений, распределенных по торцевой поверхности, не зависят от Это следует из простейших соображений статики: силы, приложенные к телу, ограниченному двумя произвольно взятыми поверхностями и боковой поверхностью находятся в равновесии, так что их главный вектор и главный момент один и тот же на любой поверхности Далее на распределение напряжений по этим поверхностям накладывается лишь требование их статической эквивалентности заданным

Так поставленная задача распадается на четыре существенно различных задачи: 1) растяжение продольной силой кручение моментом изгиб парой изгиб силой Напряженное состояние в задачах 1) и 2), как подсказывают формулы (4.1.7), (4.1.8), можно считать осесимметричным, причем в задаче растяжения отличны от нуля напряжения и перемещения а в задаче Кручения — напряжения и перемещение (см. п. 1.10 гл. IV). Более сложны задачи изгиба: в них отличны от нуля все компоненты тензора напряжения и вектора перемещения; в соответствии с (4.1.7), (4.1.8) можно принять в задаче

изгиба силой и парой напряжения и перемещения

В рассмотрение удобно ввести «номинальные» напряжения: они определяются, как вычисляемые по элементарной теории напряжения при действии рассматриваемой силы или момента в круглом стержне с радиусом

Формулы после интегрирования по можно записать в виде

Здесь, как и в пп. 1.11 —1.13 гл. IV, звездочкой отмечены множители перед в выражениях напряжений неосесимметричных задач изгиба.

Интегралы в формулах (4.1.10) и (4.1.12) указывают, что в задачах растяжения и изгиба силой напряжения убывают при не медленнее, чем а в задачах кручения и изгиба парами — не медленнее, чем

Поскольку величины постоянные, не зависящие от можно при вычислении по упомянутым формулам, сославшись

на (4.1.2), принять значит, Приходим к равенствам