ЧАСТЬ II. УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ГЛАВА III. ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Изотропная сплошная среда

1.1. Постановка задачи линейной теории упругости.

Как неоднократно указывалось (пп. 3.6, 3.9 гл. II), возможность замены тензоров конечной деформации линейным тензором деформации обусловлена малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения или, что то же самое, компонент тензора и вектора поворота

При этих условиях отпадает необходимость различения производных по координатам начального состояния и конечного состояния Действительно, для некоторой функции в той и другой системе независимых переменных имеем

и в принятом приближении

В линейной теории упругости, если не оговорено противное, за начальное состояние среды принимается ее состояние при отсутствии напряжений — натуральное состояние. Декартовы координаты точки в напряженном состоянии обозначаются , а в начальном — через (п. 1.1 гл. I):

но их нет нужды явно вводить в рассмотрение. При разыскании напряженного состояния принимают, что размеры и форма тела

такие же, что и в начальном состоянии, не различая и -объемов и поверхностей О и о, их ограничивающих.

Тензор напряжения, в отличие от основного соотношения (1.3.2) гл. I, вводится соотношением

Здесь вектор силы, действующей на ориентированную площадку причем единичный вектор нормали этой площадки в начальном состоянии тела, ее площадь. Уравнения равновесия в объеме сохраняют вид (1.5.4) или (1.5.6) гл. I но, относя массу к начальному объему, принимают в выражении объемной силы плотность равной ее значению в начальном состоянии Уравнение равновесия на поверхности в соответствии с (1.1.4) записывается в виде

где поверхностная сила, рассчитанная на единицу начальной площади поверхности единичный вектор внешней нормали к ней.

В линейной теории равновесия сплошной среды отпадает также необходимость в различении тензоров деформации Коши—Грина и Альманзи — Гамеля Как следует из (3.6.5) и (4.3.5) гл. II, тот и другой тензоры должны быть по (1.1.1) и (1.1.2) заменены линейным тензором деформации

причем безразлично, какими независимыми переменными или пользоваться при вычислении набла-оператора. Далее принимаются обозначения для этих переменных, через обозначаются объем тела и ограничивающая его поверхность. При применении криволинейных координат принимается обозначение § для метрического тензора, — для его компонент. Первый инвариант линейного тензора деформации в соответствии с (5.5.5) гл. II (объемное расширение в линейном приближении) обозначается

В п. 1.5 гл. I уже говорилось, что задачей статики сплошной среды является разыскание во множестве статически возможных напряженных состояний (удовлетворяющих уравнениям статики в объеме и на поверхности) фактически реализуемого в принятой физической модели среды состояния. Эта модель определяется законом состояния; для большого числа сред он состоит в задании связи между тензорами напряжения и деформации;

в линейной теории сплошной среды это — линейное соотношение связи тензора напряжения с линейным тензором деформации. В линейно-упругом теле оно представляет систему линейных уравнений, связывающих компоненты этих тензоров; они выражают обобщенный закон Гука для линейно-упругого тела. В выражение закона состояния входит также температура тела.

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуемое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план — их находят после того, как задача решена в предположении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в -объеме в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра малости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы.

Дальнейшее изложение ведется преимущественно в декартовой системе координат однако все результативные соотношения формулируются в инвариантной форме зависимостей между векторами или тензорами и инвариантами тензоров. Поэтому переход к криволинейным координатам нигде не составляет труда.